Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60627 / 33022
↖ ↑ ↗
← N 66.233671°
W 13.482971°		 ← 123.09 m → N 66.233671°
W 13.480224°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
N 66.232564°
W 13.482971°		 ← 123.09 m →
15 151 m²		 N 66.232564°
W 13.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462551116943359 y=0.251941680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462551116943359 × 217)
    floor (0.462551116943359 × 131072)
    floor (60627.5)     		tx = 60627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251941680908203 × 217)
    floor (0.251941680908203 × 131072)
    floor (33022.5)     		ty = 33022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60627 / 33022 ti = "17/60627/33022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60627/33022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60627 ÷ 217
    60627 ÷ 131072     		x = 0.462547302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33022 ÷ 217
    33022 ÷ 131072     		y = 0.251937866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462547302246094 × 2 - 1) × π
    -0.0749053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23532224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251937866210938 × 2 - 1) × π
    0.496124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.55862035424651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23532224} λ = -0.23532224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55862035424651))-π/2
    2×atan(4.75226028455675)-π/2
    2×1.36339598386572-π/2
    2.72679196773144-1.57079632675     		φ = 1.15599564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23532224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.482971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15599564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.233671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60627 KachelY 33022 -0.23532224 1.15599564 -13.482971 66.233671
    Oben rechts KachelX + 1 60628 KachelY 33022 -0.23527430 1.15599564 -13.480224 66.233671
    Unten links KachelX 60627 KachelY + 1 33023 -0.23532224 1.15597632 -13.482971 66.232564
    Unten rechts KachelX + 1 60628 KachelY + 1 33023 -0.23527430 1.15597632 -13.480224 66.232564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15599564-1.15597632) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15599564-1.15597632) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23532224--0.23527430) × cos(1.15599564) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.403007527611442 × 6371000     		do = 123.088872346286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23532224--0.23527430) × cos(1.15597632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.403025209135764 × 6371000     		du = 123.094272738936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15599564)-sin(1.15597632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403007527611442-0.403025209135764)×R²
    abs(-0.23527430--0.23532224)×1.76815243219663e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76815243219663e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76815243219663e-05×40589641000000     		ar = 15151.0610159348m²