Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60626 / 56170
↖ ↑ ↗
← N 24.901385°
W 13.485718°		 ← 277.03 m → N 24.901385°
W 13.482971°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
N 24.898893°
W 13.485718°		 ← 277.04 m →
76 742 m²		 N 24.898893°
W 13.482971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462543487548828 y=0.428546905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462543487548828 × 217)
    floor (0.462543487548828 × 131072)
    floor (60626.5)     		tx = 60626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428546905517578 × 217)
    floor (0.428546905517578 × 131072)
    floor (56170.5)     		ty = 56170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60626 / 56170 ti = "17/60626/56170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60626/56170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60626 ÷ 217
    60626 ÷ 131072     		x = 0.462539672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56170 ÷ 217
    56170 ÷ 131072     		y = 0.428543090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462539672851562 × 2 - 1) × π
    -0.074920654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23537018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428543090820312 × 2 - 1) × π
    0.142913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.448977001841446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23537018} λ = -0.23537018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448977001841446))-π/2
    2×atan(1.56670862537175)-π/2
    2×1.00270374038544-π/2
    2.00540748077088-1.57079632675     		φ = 0.43461115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23537018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.485718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43461115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.901385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60626 KachelY 56170 -0.23537018 0.43461115 -13.485718 24.901385
    Oben rechts KachelX + 1 60627 KachelY 56170 -0.23532224 0.43461115 -13.482971 24.901385
    Unten links KachelX 60626 KachelY + 1 56171 -0.23537018 0.43456767 -13.485718 24.898893
    Unten rechts KachelX + 1 60627 KachelY + 1 56171 -0.23532224 0.43456767 -13.482971 24.898893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43461115-0.43456767) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dl = 277.011079999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43461115-0.43456767) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dr = 277.011079999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23537018--0.23532224) × cos(0.43461115) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.907033839168444 × 6371000     		do = 277.031481533202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23537018--0.23532224) × cos(0.43456767) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.907052145901295 × 6371000     		du = 277.03707288063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43461115)-sin(0.43456767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907033839168444-0.907052145901295)×R²
    abs(-0.23532224--0.23537018)×1.83067328509701e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83067328509701e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83067328509701e-05×40589641000000     		ar = 76741.5643380711m²