Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60625 / 56145
↖ ↑ ↗
← N 24.963650°
W 13.488464°		 ← 276.83 m → N 24.963650°
W 13.485718°		 →
↑
276.88 m
↓
↑
276.88 m
↓
N 24.961160°
W 13.488464°		 ← 276.84 m →
76 652 m²		 N 24.961160°
W 13.485718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462535858154297 y=0.428356170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462535858154297 × 217)
    floor (0.462535858154297 × 131072)
    floor (60625.5)     		tx = 60625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428356170654297 × 217)
    floor (0.428356170654297 × 131072)
    floor (56145.5)     		ty = 56145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60625 / 56145 ti = "17/60625/56145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60625/56145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60625 ÷ 217
    60625 ÷ 131072     		x = 0.462532043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56145 ÷ 217
    56145 ÷ 131072     		y = 0.428352355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462532043457031 × 2 - 1) × π
    -0.0749359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23541811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428352355957031 × 2 - 1) × π
    0.143295288085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.450175424331947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23541811} λ = -0.23541811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450175424331947))-π/2
    2×atan(1.56858732974039)-π/2
    2×1.00324710804913-π/2
    2.00649421609826-1.57079632675     		φ = 0.43569789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23541811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.488464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43569789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.963650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60625 KachelY 56145 -0.23541811 0.43569789 -13.488464 24.963650
    Oben rechts KachelX + 1 60626 KachelY 56145 -0.23537018 0.43569789 -13.485718 24.963650
    Unten links KachelX 60625 KachelY + 1 56146 -0.23541811 0.43565443 -13.488464 24.961160
    Unten rechts KachelX + 1 60626 KachelY + 1 56146 -0.23537018 0.43565443 -13.485718 24.961160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43569789-0.43565443) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dl = 276.883659999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43569789-0.43565443) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dr = 276.883659999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23541811--0.23537018) × cos(0.43569789) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.906575723372477 × 6371000     		do = 276.833803237747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23541811--0.23537018) × cos(0.43565443) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.906594064513535 × 6371000     		du = 276.839403925813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43569789)-sin(0.43565443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906575723372477-0.906594064513535)×R²
    abs(-0.23537018--0.23541811)×1.83411410580314e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83411410580314e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83411410580314e-05×40589641000000     		ar = 76651.5320338176m²