Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60625 / 34027
↖ ↑ ↗
← N 65.096429°
W 13.488464°		 ← 128.59 m → N 65.096429°
W 13.485718°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
N 65.095272°
W 13.488464°		 ← 128.59 m →
16 540 m²		 N 65.095272°
W 13.485718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462535858154297 y=0.259609222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462535858154297 × 217)
    floor (0.462535858154297 × 131072)
    floor (60625.5)     		tx = 60625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259609222412109 × 217)
    floor (0.259609222412109 × 131072)
    floor (34027.5)     		ty = 34027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60625 / 34027 ti = "17/60625/34027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60625/34027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60625 ÷ 217
    60625 ÷ 131072     		x = 0.462532043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34027 ÷ 217
    34027 ÷ 131072     		y = 0.259605407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462532043457031 × 2 - 1) × π
    -0.0749359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23541811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259605407714844 × 2 - 1) × π
    0.480789184570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.51044377012835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23541811} λ = -0.23541811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51044377012835))-π/2
    2×atan(4.5287400680147)-π/2
    2×1.35347167235998-π/2
    2.70694334471995-1.57079632675     		φ = 1.13614702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23541811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.488464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13614702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.096429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60625 KachelY 34027 -0.23541811 1.13614702 -13.488464 65.096429
    Oben rechts KachelX + 1 60626 KachelY 34027 -0.23537018 1.13614702 -13.485718 65.096429
    Unten links KachelX 60625 KachelY + 1 34028 -0.23541811 1.13612683 -13.488464 65.095272
    Unten rechts KachelX + 1 60626 KachelY + 1 34028 -0.23537018 1.13612683 -13.485718 65.095272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13614702-1.13612683) × R
    2.01899999998645e-05 × 6371000     		dl = 128.630489999137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13614702-1.13612683) × R
    2.01899999998645e-05 × 6371000     		dr = 128.630489999137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23541811--0.23537018) × cos(1.13614702) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421092342297689 × 6371000     		do = 128.585612461482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23541811--0.23537018) × cos(1.13612683) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421110654900685 × 6371000     		du = 128.591204435107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13614702)-sin(1.13612683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421092342297689-0.421110654900685)×R²
    abs(-0.23537018--0.23541811)×1.83126029950631e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83126029950631e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83126029950631e-05×40589641000000     		ar = 16540.389987481m²