Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60625 / 13909
↖ ↑ ↗
← N 71.376373°
E153.023072°		 ← 195.06 m → N 71.376373°
E153.028564°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 71.374619°
E153.023072°		 ← 195.07 m →
38 041 m²		 N 71.374619°
E153.028564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925071716308594 y=0.212242126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925071716308594 × 216)
    floor (0.925071716308594 × 65536)
    floor (60625.5)     		tx = 60625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212242126464844 × 216)
    floor (0.212242126464844 × 65536)
    floor (13909.5)     		ty = 13909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60625 / 13909 ti = "16/60625/13909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60625/13909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60625 ÷ 216
    60625 ÷ 65536     		x = 0.925064086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13909 ÷ 216
    13909 ÷ 65536     		y = 0.212234497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925064086914062 × 2 - 1) × π
    0.850128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.67075643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212234497070312 × 2 - 1) × π
    0.575531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80808397986928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67075643} λ = 2.67075643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80808397986928))-π/2
    2×atan(6.09875090091576)-π/2
    2×1.40827452068636-π/2
    2.81654904137272-1.57079632675     		φ = 1.24575271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67075643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.023072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24575271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.376373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60625 KachelY 13909 2.67075643 1.24575271 153.023072 71.376373
    Oben rechts KachelX + 1 60626 KachelY 13909 2.67085230 1.24575271 153.028564 71.376373
    Unten links KachelX 60625 KachelY + 1 13910 2.67075643 1.24572210 153.023072 71.374619
    Unten rechts KachelX + 1 60626 KachelY + 1 13910 2.67085230 1.24572210 153.028564 71.374619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24575271-1.24572210) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24575271-1.24572210) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67075643-2.67085230) × cos(1.24575271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319350119040625 × 6371000     		do = 195.055147058054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67075643-2.67085230) × cos(1.24572210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319379126053405 × 6371000     		du = 195.072864186704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24575271)-sin(1.24572210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319350119040625-0.319379126053405)×R²
    abs(2.67085230-2.67075643)×2.90070127800246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90070127800246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90070127800246e-05×40589641000000     		ar = 38040.6625933616m²