Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60624 / 82678
↖ ↑ ↗
← S 42.532844°
W 13.491211°		 ← 225.07 m → S 42.532844°
W 13.488464°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
S 42.534868°
W 13.491211°		 ← 225.06 m →
50 659 m²		 S 42.534868°
W 13.488464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462528228759766 y=0.630786895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462528228759766 × 217)
    floor (0.462528228759766 × 131072)
    floor (60624.5)     		tx = 60624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630786895751953 × 217)
    floor (0.630786895751953 × 131072)
    floor (82678.5)     		ty = 82678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60624 / 82678 ti = "17/60624/82678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60624/82678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60624 ÷ 217
    60624 ÷ 131072     		x = 0.4625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82678 ÷ 217
    82678 ÷ 131072     		y = 0.630783081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23546605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630783081054688 × 2 - 1) × π
    -0.261566162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.821734333287003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23546605} λ = -0.23546605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821734333287003))-π/2
    2×atan(0.439668461233989)-π/2
    2×0.414229076929134-π/2
    0.828458153858267-1.57079632675     		φ = -0.74233817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23546605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74233817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.532844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60624 KachelY 82678 -0.23546605 -0.74233817 -13.491211 -42.532844
    Oben rechts KachelX + 1 60625 KachelY 82678 -0.23541811 -0.74233817 -13.488464 -42.532844
    Unten links KachelX 60624 KachelY + 1 82679 -0.23546605 -0.74237350 -13.491211 -42.534868
    Unten rechts KachelX + 1 60625 KachelY + 1 82679 -0.23541811 -0.74237350 -13.488464 -42.534868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74233817--0.74237350) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74233817--0.74237350) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23546605--0.23541811) × cos(-0.74233817) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.736889941782544 × 6371000     		do = 225.065155767473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23546605--0.23541811) × cos(-0.74237350) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.736866057792835 × 6371000     		du = 225.057860982242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74233817)-sin(-0.74237350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736889941782544-0.736866057792835)×R²
    abs(-0.23541811--0.23546605)×2.38839897095389e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38839897095389e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38839897095389e-05×40589641000000     		ar = 50658.5165172985m²