Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60624 / 14097
↖ ↑ ↗
← N 71.043744°
E153.017578°		 ← 198.43 m → N 71.043744°
E153.023072°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
N 71.041960°
E153.017578°		 ← 198.45 m →
39 369 m²		 N 71.041960°
E153.023072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925056457519531 y=0.215110778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925056457519531 × 216)
    floor (0.925056457519531 × 65536)
    floor (60624.5)     		tx = 60624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215110778808594 × 216)
    floor (0.215110778808594 × 65536)
    floor (14097.5)     		ty = 14097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60624 / 14097 ti = "16/60624/14097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60624/14097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60624 ÷ 216
    60624 ÷ 65536     		x = 0.925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14097 ÷ 216
    14097 ÷ 65536     		y = 0.215103149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925048828125 × 2 - 1) × π
    0.85009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67066055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215103149414062 × 2 - 1) × π
    0.569793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79005970561214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67066055} λ = 2.67066055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79005970561214))-π/2
    2×atan(5.98981008098468)-π/2
    2×1.40537179033582-π/2
    2.81074358067163-1.57079632675     		φ = 1.23994725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67066055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23994725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.043744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60624 KachelY 14097 2.67066055 1.23994725 153.017578 71.043744
    Oben rechts KachelX + 1 60625 KachelY 14097 2.67075643 1.23994725 153.023072 71.043744
    Unten links KachelX 60624 KachelY + 1 14098 2.67066055 1.23991611 153.017578 71.041960
    Unten rechts KachelX + 1 60625 KachelY + 1 14098 2.67075643 1.23991611 153.023072 71.041960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23994725-1.23991611) × R
    3.11399999999296e-05 × 6371000     		dl = 198.392939999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23994725-1.23991611) × R
    3.11399999999296e-05 × 6371000     		dr = 198.392939999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67066055-2.67075643) × cos(1.23994725) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324846174092841 × 6371000     		do = 198.43276621682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67066055-2.67075643) × cos(1.23991611) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324875625115515 × 6371000     		du = 198.450756417607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23994725)-sin(1.23991611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324846174092841-0.324875625115515)×R²
    abs(2.67075643-2.67066055)×2.94510226737099e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94510226737099e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94510226737099e-05×40589641000000     		ar = 39369.4444497495m²