Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60623 / 41293
↖ ↑ ↗
← N 55.258773°
W 13.493958°		 ← 174.05 m → N 55.258773°
W 13.491211°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
N 55.257208°
W 13.493958°		 ← 174.06 m →
30 296 m²		 N 55.257208°
W 13.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462520599365234 y=0.315044403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462520599365234 × 217)
    floor (0.462520599365234 × 131072)
    floor (60623.5)     		tx = 60623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315044403076172 × 217)
    floor (0.315044403076172 × 131072)
    floor (41293.5)     		ty = 41293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60623 / 41293 ti = "17/60623/41293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60623/41293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60623 ÷ 217
    60623 ÷ 131072     		x = 0.462516784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41293 ÷ 217
    41293 ÷ 131072     		y = 0.315040588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462516784667969 × 2 - 1) × π
    -0.0749664306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23551399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315040588378906 × 2 - 1) × π
    0.369918823242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.16213425748902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23551399} λ = -0.23551399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16213425748902))-π/2
    2×atan(3.19674868543235)-π/2
    2×1.26762192756444-π/2
    2.53524385512888-1.57079632675     		φ = 0.96444753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23551399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.493958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96444753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.258773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60623 KachelY 41293 -0.23551399 0.96444753 -13.493958 55.258773
    Oben rechts KachelX + 1 60624 KachelY 41293 -0.23546605 0.96444753 -13.491211 55.258773
    Unten links KachelX 60623 KachelY + 1 41294 -0.23551399 0.96442021 -13.493958 55.257208
    Unten rechts KachelX + 1 60624 KachelY + 1 41294 -0.23546605 0.96442021 -13.491211 55.257208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96444753-0.96442021) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dl = 174.055720000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96444753-0.96442021) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dr = 174.055720000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23551399--0.23546605) × cos(0.96444753) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.569870946754686 × 6371000     		do = 174.053255617037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23551399--0.23546605) × cos(0.96442021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5698933963205 × 6371000     		du = 174.060112292288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96444753)-sin(0.96442021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569870946754686-0.5698933963205)×R²
    abs(-0.23546605--0.23551399)×2.24495658133206e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24495658133206e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24495658133206e-05×40589641000000     		ar = 30295.5614484292m²