Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60623 / 41183
↖ ↑ ↗
← N 55.430572°
W 13.493958°		 ← 173.30 m → N 55.430572°
W 13.491211°		 →
↑
173.29 m
↓
↑
173.29 m
↓
N 55.429014°
W 13.493958°		 ← 173.31 m →
30 032 m²		 N 55.429014°
W 13.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462520599365234 y=0.314205169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462520599365234 × 217)
    floor (0.462520599365234 × 131072)
    floor (60623.5)     		tx = 60623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314205169677734 × 217)
    floor (0.314205169677734 × 131072)
    floor (41183.5)     		ty = 41183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60623 / 41183 ti = "17/60623/41183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60623/41183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60623 ÷ 217
    60623 ÷ 131072     		x = 0.462516784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41183 ÷ 217
    41183 ÷ 131072     		y = 0.314201354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462516784667969 × 2 - 1) × π
    -0.0749664306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23551399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314201354980469 × 2 - 1) × π
    0.371597290039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.16740731644723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23551399} λ = -0.23551399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16740731644723))-π/2
    2×atan(3.21364985098481)-π/2
    2×1.26912115639996-π/2
    2.53824231279993-1.57079632675     		φ = 0.96744599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23551399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.493958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96744599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.430572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60623 KachelY 41183 -0.23551399 0.96744599 -13.493958 55.430572
    Oben rechts KachelX + 1 60624 KachelY 41183 -0.23546605 0.96744599 -13.491211 55.430572
    Unten links KachelX 60623 KachelY + 1 41184 -0.23551399 0.96741879 -13.493958 55.429014
    Unten rechts KachelX + 1 60624 KachelY + 1 41184 -0.23546605 0.96741879 -13.491211 55.429014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96744599-0.96741879) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dl = 173.291200000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96744599-0.96741879) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dr = 173.291200000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23551399--0.23546605) × cos(0.96744599) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56740445151657 × 6371000     		do = 173.299924483729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23551399--0.23546605) × cos(0.96741879) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567426848854107 × 6371000     		du = 173.306765207121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96744599)-sin(0.96741879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56740445151657-0.567426848854107)×R²
    abs(-0.23546605--0.23551399)×2.23973375371722e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23973375371722e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23973375371722e-05×40589641000000     		ar = 30031.9445941797m²