Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60621 / 82845
↖ ↑ ↗
← S 42.869925°
W 13.499451°		 ← 223.85 m → S 42.869925°
W 13.496704°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
S 42.871938°
W 13.499451°		 ← 223.84 m →
50 099 m²		 S 42.871938°
W 13.496704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462505340576172 y=0.632061004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462505340576172 × 217)
    floor (0.462505340576172 × 131072)
    floor (60621.5)     		tx = 60621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632061004638672 × 217)
    floor (0.632061004638672 × 131072)
    floor (82845.5)     		ty = 82845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60621 / 82845 ti = "17/60621/82845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60621/82845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60621 ÷ 217
    60621 ÷ 131072     		x = 0.462501525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82845 ÷ 217
    82845 ÷ 131072     		y = 0.632057189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462501525878906 × 2 - 1) × π
    -0.0749969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23560986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632057189941406 × 2 - 1) × π
    -0.264114379882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.829739795523552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23560986} λ = -0.23560986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829739795523552))-π/2
    2×atan(0.436162763060726)-π/2
    2×0.41128748848969-π/2
    0.822574976979379-1.57079632675     		φ = -0.74822135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23560986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.499451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74822135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.869925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60621 KachelY 82845 -0.23560986 -0.74822135 -13.499451 -42.869925
    Oben rechts KachelX + 1 60622 KachelY 82845 -0.23556192 -0.74822135 -13.496704 -42.869925
    Unten links KachelX 60621 KachelY + 1 82846 -0.23560986 -0.74825648 -13.499451 -42.871938
    Unten rechts KachelX + 1 60622 KachelY + 1 82846 -0.23556192 -0.74825648 -13.496704 -42.871938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74822135--0.74825648) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dl = 223.813229999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74822135--0.74825648) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dr = 223.813229999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23560986--0.23556192) × cos(-0.74822135) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732900107631462 × 6371000     		do = 223.846557719402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23560986--0.23556192) × cos(-0.74825648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732876206966267 × 6371000     		du = 223.839257841048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74822135)-sin(-0.74825648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732900107631462-0.732876206966267)×R²
    abs(-0.23556192--0.23560986)×2.39006651947538e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39006651947538e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39006651947538e-05×40589641000000     		ar = 50099.0042079764m²