Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60620 / 56140
↖ ↑ ↗
← N 24.976099°
W 13.502197°		 ← 276.86 m → N 24.976099°
W 13.499451°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 24.973610°
W 13.502197°		 ← 276.87 m →
76 642 m²		 N 24.973610°
W 13.499451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462497711181641 y=0.428318023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462497711181641 × 217)
    floor (0.462497711181641 × 131072)
    floor (60620.5)     		tx = 60620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428318023681641 × 217)
    floor (0.428318023681641 × 131072)
    floor (56140.5)     		ty = 56140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60620 / 56140 ti = "17/60620/56140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60620/56140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60620 ÷ 217
    60620 ÷ 131072     		x = 0.462493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56140 ÷ 217
    56140 ÷ 131072     		y = 0.428314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.07501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23565780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428314208984375 × 2 - 1) × π
    0.14337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.450415108830048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23565780} λ = -0.23565780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450415108830048))-π/2
    2×atan(1.56896334086746)-π/2
    2×1.00335574862695-π/2
    2.0067114972539-1.57079632675     		φ = 0.43591517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23565780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.502197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43591517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.976099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60620 KachelY 56140 -0.23565780 0.43591517 -13.502197 24.976099
    Oben rechts KachelX + 1 60621 KachelY 56140 -0.23560986 0.43591517 -13.499451 24.976099
    Unten links KachelX 60620 KachelY + 1 56141 -0.23565780 0.43587172 -13.502197 24.973610
    Unten rechts KachelX + 1 60621 KachelY + 1 56141 -0.23560986 0.43587172 -13.499451 24.973610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43591517-0.43587172) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dl = 276.819950000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43591517-0.43587172) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dr = 276.819950000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23565780--0.23560986) × cos(0.43591517) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906484000427966 × 6371000     		do = 276.863546628851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23565780--0.23560986) × cos(0.43587172) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906502345907455 × 6371000     		du = 276.869149810499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43591517)-sin(0.43587172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906484000427966-0.906502345907455)×R²
    abs(-0.23560986--0.23565780)×1.83454794883131e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83454794883131e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83454794883131e-05×40589641000000     		ar = 76642.1286829693m²