Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60619 / 41353
↖ ↑ ↗
← N 55.164750°
W 13.504944°		 ← 174.46 m → N 55.164750°
W 13.502197°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
N 55.163181°
W 13.504944°		 ← 174.47 m →
30 434 m²		 N 55.163181°
W 13.502197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462490081787109 y=0.315502166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462490081787109 × 217)
    floor (0.462490081787109 × 131072)
    floor (60619.5)     		tx = 60619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315502166748047 × 217)
    floor (0.315502166748047 × 131072)
    floor (41353.5)     		ty = 41353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60619 / 41353 ti = "17/60619/41353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60619/41353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60619 ÷ 217
    60619 ÷ 131072     		x = 0.462486267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41353 ÷ 217
    41353 ÷ 131072     		y = 0.315498352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462486267089844 × 2 - 1) × π
    -0.0750274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23570574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315498352050781 × 2 - 1) × π
    0.369003295898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.15925804351182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23570574} λ = -0.23570574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15925804351182))-π/2
    2×atan(3.18756736223622)-π/2
    2×1.26680142329679-π/2
    2.53360284659357-1.57079632675     		φ = 0.96280652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23570574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.504944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96280652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.164750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60619 KachelY 41353 -0.23570574 0.96280652 -13.504944 55.164750
    Oben rechts KachelX + 1 60620 KachelY 41353 -0.23565780 0.96280652 -13.502197 55.164750
    Unten links KachelX 60619 KachelY + 1 41354 -0.23570574 0.96277914 -13.504944 55.163181
    Unten rechts KachelX + 1 60620 KachelY + 1 41354 -0.23565780 0.96277914 -13.502197 55.163181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96280652-0.96277914) × R
    2.73800000000213e-05 × 6371000     		dl = 174.437980000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96280652-0.96277914) × R
    2.73800000000213e-05 × 6371000     		dr = 174.437980000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23570574--0.23565780) × cos(0.96280652) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.571218652891088 × 6371000     		do = 174.46487976105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23570574--0.23565780) × cos(0.96277914) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.571241126124443 × 6371000     		du = 174.471743664978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96280652)-sin(0.96277914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571218652891088-0.571241126124443)×R²
    abs(-0.23565780--0.23570574)×2.24732333544697e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24732333544697e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24732333544697e-05×40589641000000     		ar = 30433.8998711845m²