Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60618 / 26890
↖ ↑ ↗
← N 72.173397°
W 13.507690°		 ← 93.48 m → N 72.173397°
W 13.504944°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
N 72.172556°
W 13.507690°		 ← 93.49 m →
8 737 m²		 N 72.172556°
W 13.504944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462482452392578 y=0.205158233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462482452392578 × 217)
    floor (0.462482452392578 × 131072)
    floor (60618.5)     		tx = 60618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205158233642578 × 217)
    floor (0.205158233642578 × 131072)
    floor (26890.5)     		ty = 26890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60618 / 26890 ti = "17/60618/26890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60618/26890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60618 ÷ 217
    60618 ÷ 131072     		x = 0.462478637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26890 ÷ 217
    26890 ÷ 131072     		y = 0.205154418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462478637695312 × 2 - 1) × π
    -0.075042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23575367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205154418945312 × 2 - 1) × π
    0.589691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85256942271669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23575367} λ = -0.23575367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85256942271669))-π/2
    2×atan(6.37618159890074)-π/2
    2×1.4152298697943-π/2
    2.8304597395886-1.57079632675     		φ = 1.25966341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23575367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.507690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25966341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.173397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60618 KachelY 26890 -0.23575367 1.25966341 -13.507690 72.173397
    Oben rechts KachelX + 1 60619 KachelY 26890 -0.23570574 1.25966341 -13.504944 72.173397
    Unten links KachelX 60618 KachelY + 1 26891 -0.23575367 1.25964874 -13.507690 72.172556
    Unten rechts KachelX + 1 60619 KachelY + 1 26891 -0.23570574 1.25964874 -13.504944 72.172556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25966341-1.25964874) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dl = 93.4625699992571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25966341-1.25964874) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dr = 93.4625699992571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23575367--0.23570574) × cos(1.25966341) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.306137355136883 × 6371000     		do = 93.4827242234327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23575367--0.23570574) × cos(1.25964874) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.306151320758406 × 6371000     		du = 93.486988793971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25966341)-sin(1.25964874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306137355136883-0.306151320758406)×R²
    abs(-0.23570574--0.23575367)×1.39656215224493e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.39656215224493e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.39656215224493e-05×40589641000000     		ar = 8737.33494544536m²