Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60617 / 41350
↖ ↑ ↗
← N 55.169456°
W 13.510437°		 ← 174.44 m → N 55.169456°
W 13.507690°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
N 55.167888°
W 13.510437°		 ← 174.45 m →
30 430 m²		 N 55.167888°
W 13.507690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462474822998047 y=0.315479278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462474822998047 × 217)
    floor (0.462474822998047 × 131072)
    floor (60617.5)     		tx = 60617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315479278564453 × 217)
    floor (0.315479278564453 × 131072)
    floor (41350.5)     		ty = 41350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60617 / 41350 ti = "17/60617/41350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60617/41350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60617 ÷ 217
    60617 ÷ 131072     		x = 0.462471008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41350 ÷ 217
    41350 ÷ 131072     		y = 0.315475463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462471008300781 × 2 - 1) × π
    -0.0750579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23580161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315475463867188 × 2 - 1) × π
    0.369049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15940185421068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23580161} λ = -0.23580161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15940185421068))-π/2
    2×atan(3.18802580148969)-π/2
    2×1.26684249454953-π/2
    2.53368498909905-1.57079632675     		φ = 0.96288866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23580161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.510437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96288866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.169456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60617 KachelY 41350 -0.23580161 0.96288866 -13.510437 55.169456
    Oben rechts KachelX + 1 60618 KachelY 41350 -0.23575367 0.96288866 -13.507690 55.169456
    Unten links KachelX 60617 KachelY + 1 41351 -0.23580161 0.96286128 -13.510437 55.167888
    Unten rechts KachelX + 1 60618 KachelY + 1 41351 -0.23575367 0.96286128 -13.507690 55.167888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96288866-0.96286128) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dl = 174.437979999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96288866-0.96286128) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dr = 174.437979999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23580161--0.23575367) × cos(0.96288866) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.571151230621758 × 6371000     		do = 174.444287264548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23580161--0.23575367) × cos(0.96286128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.571173705139729 × 6371000     		du = 174.45115156083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96288866)-sin(0.96286128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571151230621758-0.571173705139729)×R²
    abs(-0.23575367--0.23580161)×2.24745179707719e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24745179707719e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24745179707719e-05×40589641000000     		ar = 30430.3077917361m²