Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60616 / 56137
↖ ↑ ↗
← N 24.983569°
W 13.513184°		 ← 276.85 m → N 24.983569°
W 13.510437°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 24.981079°
W 13.513184°		 ← 276.85 m →
76 637 m²		 N 24.981079°
W 13.510437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462467193603516 y=0.428295135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462467193603516 × 217)
    floor (0.462467193603516 × 131072)
    floor (60616.5)     		tx = 60616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428295135498047 × 217)
    floor (0.428295135498047 × 131072)
    floor (56137.5)     		ty = 56137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60616 / 56137 ti = "17/60616/56137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60616/56137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60616 ÷ 217
    60616 ÷ 131072     		x = 0.46246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56137 ÷ 217
    56137 ÷ 131072     		y = 0.428291320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428291320800781 × 2 - 1) × π
    0.143417358398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.450558919528908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23584955} λ = -0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450558919528908))-π/2
    2×atan(1.56918899080705)-π/2
    2×1.00342092769661-π/2
    2.00684185539322-1.57079632675     		φ = 0.43604553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43604553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.983569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60616 KachelY 56137 -0.23584955 0.43604553 -13.513184 24.983569
    Oben rechts KachelX + 1 60617 KachelY 56137 -0.23580161 0.43604553 -13.510437 24.983569
    Unten links KachelX 60616 KachelY + 1 56138 -0.23584955 0.43600208 -13.513184 24.981079
    Unten rechts KachelX + 1 60617 KachelY + 1 56138 -0.23580161 0.43600208 -13.510437 24.981079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43604553-0.43600208) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dl = 276.819950000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43604553-0.43600208) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dr = 276.819950000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23584955--0.23580161) × cos(0.43604553) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906428949497937 × 6371000     		do = 276.846732657809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23584955--0.23580161) × cos(0.43600208) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906447300111775 × 6371000     		du = 276.85233740762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43604553)-sin(0.43600208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906428949497937-0.906447300111775)×R²
    abs(-0.23580161--0.23584955)×1.83506138383693e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83506138383693e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83506138383693e-05×40589641000000     		ar = 76637.4744573613m²