Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60616 / 41352
↖ ↑ ↗
← N 55.166319°
W 13.513184°		 ← 174.46 m → N 55.166319°
W 13.510437°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
N 55.164750°
W 13.513184°		 ← 174.46 m →
30 433 m²		 N 55.164750°
W 13.510437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462467193603516 y=0.315494537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462467193603516 × 217)
    floor (0.462467193603516 × 131072)
    floor (60616.5)     		tx = 60616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315494537353516 × 217)
    floor (0.315494537353516 × 131072)
    floor (41352.5)     		ty = 41352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60616 / 41352 ti = "17/60616/41352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60616/41352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60616 ÷ 217
    60616 ÷ 131072     		x = 0.46246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41352 ÷ 217
    41352 ÷ 131072     		y = 0.31549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31549072265625 × 2 - 1) × π
    0.3690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15930598041144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23584955} λ = -0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15930598041144))-π/2
    2×atan(3.18772016799538)-π/2
    2×1.26681511425305-π/2
    2.53363022850611-1.57079632675     		φ = 0.96283390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96283390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.166319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60616 KachelY 41352 -0.23584955 0.96283390 -13.513184 55.166319
    Oben rechts KachelX + 1 60617 KachelY 41352 -0.23580161 0.96283390 -13.510437 55.166319
    Unten links KachelX 60616 KachelY + 1 41353 -0.23584955 0.96280652 -13.513184 55.164750
    Unten rechts KachelX + 1 60617 KachelY + 1 41353 -0.23580161 0.96280652 -13.510437 55.164750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96283390-0.96280652) × R
    2.73800000000213e-05 × 6371000     		dl = 174.437980000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96283390-0.96280652) × R
    2.73800000000213e-05 × 6371000     		dr = 174.437980000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23584955--0.23580161) × cos(0.96283390) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.571196179229511 × 6371000     		do = 174.458015726333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23584955--0.23580161) × cos(0.96280652) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.571218652891088 × 6371000     		du = 174.46487976105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96283390)-sin(0.96280652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571196179229511-0.571218652891088)×R²
    abs(-0.23580161--0.23584955)×2.24736615768162e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24736615768162e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24736615768162e-05×40589641000000     		ar = 30432.702534196m²