Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60616 / 40510
↖ ↑ ↗
← N 56.465525°
W 13.513184°		 ← 168.73 m → N 56.465525°
W 13.510437°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
N 56.464008°
W 13.513184°		 ← 168.74 m →
28 466 m²		 N 56.464008°
W 13.510437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462467193603516 y=0.309070587158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462467193603516 × 217)
    floor (0.462467193603516 × 131072)
    floor (60616.5)     		tx = 60616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309070587158203 × 217)
    floor (0.309070587158203 × 131072)
    floor (40510.5)     		ty = 40510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60616 / 40510 ti = "17/60616/40510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60616/40510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60616 ÷ 217
    60616 ÷ 131072     		x = 0.46246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40510 ÷ 217
    40510 ÷ 131072     		y = 0.309066772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309066772460938 × 2 - 1) × π
    0.381866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19966884989153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23584955} λ = -0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19966884989153))-π/2
    2×atan(3.31901764768001)-π/2
    2×1.27815282805138-π/2
    2.55630565610276-1.57079632675     		φ = 0.98550933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98550933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.465525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60616 KachelY 40510 -0.23584955 0.98550933 -13.513184 56.465525
    Oben rechts KachelX + 1 60617 KachelY 40510 -0.23580161 0.98550933 -13.510437 56.465525
    Unten links KachelX 60616 KachelY + 1 40511 -0.23584955 0.98548285 -13.513184 56.464008
    Unten rechts KachelX + 1 60617 KachelY + 1 40511 -0.23580161 0.98548285 -13.510437 56.464008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98550933-0.98548285) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dl = 168.704079999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98550933-0.98548285) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dr = 168.704079999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23584955--0.23580161) × cos(0.98550933) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552438632281912 × 6371000     		do = 168.728978069278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23584955--0.23580161) × cos(0.98548285) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552460704586816 × 6371000     		du = 168.735719519337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98550933)-sin(0.98548285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552438632281912-0.552460704586816)×R²
    abs(-0.23580161--0.23584955)×2.20723049043636e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20723049043636e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20723049043636e-05×40589641000000     		ar = 28465.835671102m²