Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60615 / 84347
↖ ↑ ↗
← S 45.819229°
W 13.515930°		 ← 212.81 m → S 45.819229°
W 13.513184°		 →
↑
212.86 m
↓
↑
212.86 m
↓
S 45.821143°
W 13.515930°		 ← 212.81 m →
45 298 m²		 S 45.821143°
W 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462459564208984 y=0.643520355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462459564208984 × 217)
    floor (0.462459564208984 × 131072)
    floor (60615.5)     		tx = 60615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643520355224609 × 217)
    floor (0.643520355224609 × 131072)
    floor (84347.5)     		ty = 84347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60615 / 84347 ti = "17/60615/84347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60615/84347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60615 ÷ 217
    60615 ÷ 131072     		x = 0.462455749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84347 ÷ 217
    84347 ÷ 131072     		y = 0.643516540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462455749511719 × 2 - 1) × π
    -0.0750885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23589748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643516540527344 × 2 - 1) × π
    -0.287033081054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.901741018752876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23589748} λ = -0.23589748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901741018752876))-π/2
    2×atan(0.405862430167258)-π/2
    2×0.385549957632034-π/2
    0.771099915264068-1.57079632675     		φ = -0.79969641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23589748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.515930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79969641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.819229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60615 KachelY 84347 -0.23589748 -0.79969641 -13.515930 -45.819229
    Oben rechts KachelX + 1 60616 KachelY 84347 -0.23584955 -0.79969641 -13.513184 -45.819229
    Unten links KachelX 60615 KachelY + 1 84348 -0.23589748 -0.79972982 -13.515930 -45.821143
    Unten rechts KachelX + 1 60616 KachelY + 1 84348 -0.23584955 -0.79972982 -13.513184 -45.821143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79969641--0.79972982) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dl = 212.855110000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79969641--0.79972982) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dr = 212.855110000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23589748--0.23584955) × cos(-0.79969641) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.696924459372812 × 6371000     		do = 212.814267670741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23589748--0.23584955) × cos(-0.79972982) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.696900499184616 × 6371000     		du = 212.806951139035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79969641)-sin(-0.79972982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696924459372812-0.696900499184616)×R²
    abs(-0.23584955--0.23589748)×2.39601881957263e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39601881957263e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39601881957263e-05×40589641000000     		ar = 45297.8256782485m²