Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60615 / 82861
↖ ↑ ↗
← S 42.902125°
W 13.515930°		 ← 223.68 m → S 42.902125°
W 13.513184°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 42.904136°
W 13.515930°		 ← 223.68 m →
50 034 m²		 S 42.904136°
W 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462459564208984 y=0.632183074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462459564208984 × 217)
    floor (0.462459564208984 × 131072)
    floor (60615.5)     		tx = 60615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632183074951172 × 217)
    floor (0.632183074951172 × 131072)
    floor (82861.5)     		ty = 82861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60615 / 82861 ti = "17/60615/82861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60615/82861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60615 ÷ 217
    60615 ÷ 131072     		x = 0.462455749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82861 ÷ 217
    82861 ÷ 131072     		y = 0.632179260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462455749511719 × 2 - 1) × π
    -0.0750885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23589748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632179260253906 × 2 - 1) × π
    -0.264358520507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.830506785917473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23589748} λ = -0.23589748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830506785917473))-π/2
    2×atan(0.435828358670143)-π/2
    2×0.411006498151663-π/2
    0.822012996303326-1.57079632675     		φ = -0.74878333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23589748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.515930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74878333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.902125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60615 KachelY 82861 -0.23589748 -0.74878333 -13.515930 -42.902125
    Oben rechts KachelX + 1 60616 KachelY 82861 -0.23584955 -0.74878333 -13.513184 -42.902125
    Unten links KachelX 60615 KachelY + 1 82862 -0.23589748 -0.74881844 -13.515930 -42.904136
    Unten rechts KachelX + 1 60616 KachelY + 1 82862 -0.23584955 -0.74881844 -13.513184 -42.904136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74878333--0.74881844) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74878333--0.74881844) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23589748--0.23584955) × cos(-0.74878333) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732517656545084 × 6371000     		do = 223.683078613457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23589748--0.23584955) × cos(-0.74881844) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732493755030199 × 6371000     		du = 223.675779998352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74878333)-sin(-0.74881844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732517656545084-0.732493755030199)×R²
    abs(-0.23584955--0.23589748)×2.39015148846278e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39015148846278e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39015148846278e-05×40589641000000     		ar = 50033.9143297181m²