Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60614 / 56135
↖ ↑ ↗
← N 24.988548°
W 13.518677°		 ← 276.84 m → N 24.988548°
W 13.515930°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 24.986058°
W 13.518677°		 ← 276.84 m →
76 634 m²		 N 24.986058°
W 13.515930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462451934814453 y=0.428279876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462451934814453 × 217)
    floor (0.462451934814453 × 131072)
    floor (60614.5)     		tx = 60614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428279876708984 × 217)
    floor (0.428279876708984 × 131072)
    floor (56135.5)     		ty = 56135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60614 / 56135 ti = "17/60614/56135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60614/56135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60614 ÷ 217
    60614 ÷ 131072     		x = 0.462448120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56135 ÷ 217
    56135 ÷ 131072     		y = 0.428276062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462448120117188 × 2 - 1) × π
    -0.075103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23594542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428276062011719 × 2 - 1) × π
    0.143447875976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.450654793328148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23594542} λ = -0.23594542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450654793328148))-π/2
    2×atan(1.56933944212937)-π/2
    2×1.00346437821042-π/2
    2.00692875642084-1.57079632675     		φ = 0.43613243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23594542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.518677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43613243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.988548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60614 KachelY 56135 -0.23594542 0.43613243 -13.518677 24.988548
    Oben rechts KachelX + 1 60615 KachelY 56135 -0.23589748 0.43613243 -13.515930 24.988548
    Unten links KachelX 60614 KachelY + 1 56136 -0.23594542 0.43608898 -13.518677 24.986058
    Unten rechts KachelX + 1 60615 KachelY + 1 56136 -0.23589748 0.43608898 -13.515930 24.986058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43613243-0.43608898) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dl = 276.819950000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43613243-0.43608898) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dr = 276.819950000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23594542--0.23589748) × cos(0.43613243) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906392243136546 × 6371000     		do = 276.835521590218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23594542--0.23589748) × cos(0.43608898) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906410597172849 × 6371000     		du = 276.841127385338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43613243)-sin(0.43608898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906392243136546-0.906410597172849)×R²
    abs(-0.23589748--0.23594542)×1.83540363026813e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83540363026813e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83540363026813e-05×40589641000000     		ar = 76634.3711548594m²