Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60610 / 26310
↖ ↑ ↗
← N 72.654676°
W 13.529663°		 ← 91.06 m → N 72.654676°
W 13.526916°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
N 72.653857°
W 13.529663°		 ← 91.06 m →
8 296 m²		 N 72.653857°
W 13.526916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462421417236328 y=0.200733184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462421417236328 × 217)
    floor (0.462421417236328 × 131072)
    floor (60610.5)     		tx = 60610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200733184814453 × 217)
    floor (0.200733184814453 × 131072)
    floor (26310.5)     		ty = 26310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60610 / 26310 ti = "17/60610/26310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60610/26310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60610 ÷ 217
    60610 ÷ 131072     		x = 0.462417602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26310 ÷ 217
    26310 ÷ 131072     		y = 0.200729370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462417602539062 × 2 - 1) × π
    -0.075164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23613717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200729370117188 × 2 - 1) × π
    0.598541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88037282449632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23613717} λ = -0.23613717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88037282449632))-π/2
    2×atan(6.55594862485953)-π/2
    2×1.41942982094636-π/2
    2.83885964189272-1.57079632675     		φ = 1.26806332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23613717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.529663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26806332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.654676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60610 KachelY 26310 -0.23613717 1.26806332 -13.529663 72.654676
    Oben rechts KachelX + 1 60611 KachelY 26310 -0.23608923 1.26806332 -13.526916 72.654676
    Unten links KachelX 60610 KachelY + 1 26311 -0.23613717 1.26804902 -13.529663 72.653857
    Unten rechts KachelX + 1 60611 KachelY + 1 26311 -0.23608923 1.26804902 -13.526916 72.653857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26806332-1.26804902) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dl = 91.1052999994368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26806332-1.26804902) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dr = 91.1052999994368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23613717--0.23608923) × cos(1.26806332) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.29813004085949 × 6371000     		do = 91.0565883457329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23613717--0.23608923) × cos(1.26804902) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298143690540276 × 6371000     		du = 91.0607573095877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26806332)-sin(1.26804902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29813004085949-0.298143690540276)×R²
    abs(-0.23608923--0.23613717)×1.36496807858211e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36496807858211e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36496807858211e-05×40589641000000     		ar = 8295.92770579008m²