Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60609 / 33346
↖ ↑ ↗
← N 65.872479°
W 13.532409°		 ← 124.82 m → N 65.872479°
W 13.529663°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
N 65.871357°
W 13.532409°		 ← 124.83 m →
15 579 m²		 N 65.871357°
W 13.529663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462413787841797 y=0.254413604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462413787841797 × 217)
    floor (0.462413787841797 × 131072)
    floor (60609.5)     		tx = 60609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254413604736328 × 217)
    floor (0.254413604736328 × 131072)
    floor (33346.5)     		ty = 33346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60609 / 33346 ti = "17/60609/33346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60609/33346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60609 ÷ 217
    60609 ÷ 131072     		x = 0.462409973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33346 ÷ 217
    33346 ÷ 131072     		y = 0.254409790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462409973144531 × 2 - 1) × π
    -0.0751800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23618510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254409790039062 × 2 - 1) × π
    0.491180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54308879876961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23618510} λ = -0.23618510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54308879876961))-π/2
    2×atan(4.67902052628241)-π/2
    2×1.36024398881004-π/2
    2.72048797762008-1.57079632675     		φ = 1.14969165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23618510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.532409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14969165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.872479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60609 KachelY 33346 -0.23618510 1.14969165 -13.532409 65.872479
    Oben rechts KachelX + 1 60610 KachelY 33346 -0.23613717 1.14969165 -13.529663 65.872479
    Unten links KachelX 60609 KachelY + 1 33347 -0.23618510 1.14967206 -13.532409 65.871357
    Unten rechts KachelX + 1 60610 KachelY + 1 33347 -0.23613717 1.14967206 -13.529663 65.871357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14969165-1.14967206) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dl = 124.807889999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14969165-1.14967206) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dr = 124.807889999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23618510--0.23613717) × cos(1.14969165) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.40876887222124 × 6371000     		do = 124.822492622293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23618510--0.23613717) × cos(1.14967206) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.408786750720043 × 6371000     		du = 124.82795203698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14969165)-sin(1.14967206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40876887222124-0.408786750720043)×R²
    abs(-0.23613717--0.23618510)×1.7878498802637e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.7878498802637e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.7878498802637e-05×40589641000000     		ar = 15579.1726183608m²