Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60609 / 26825
↖ ↑ ↗
← N 72.227970°
W 13.532409°		 ← 93.21 m → N 72.227970°
W 13.529663°		 →
↑
93.21 m
↓
↑
93.21 m
↓
N 72.227132°
W 13.532409°		 ← 93.21 m →
8 688 m²		 N 72.227132°
W 13.529663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462413787841797 y=0.204662322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462413787841797 × 217)
    floor (0.462413787841797 × 131072)
    floor (60609.5)     		tx = 60609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204662322998047 × 217)
    floor (0.204662322998047 × 131072)
    floor (26825.5)     		ty = 26825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60609 / 26825 ti = "17/60609/26825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60609/26825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60609 ÷ 217
    60609 ÷ 131072     		x = 0.462409973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26825 ÷ 217
    26825 ÷ 131072     		y = 0.204658508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462409973144531 × 2 - 1) × π
    -0.0751800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23618510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204658508300781 × 2 - 1) × π
    0.590682983398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.85568532119199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23618510} λ = -0.23618510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85568532119199))-π/2
    2×atan(6.39608011820674)-π/2
    2×1.4157061094939-π/2
    2.83141221898779-1.57079632675     		φ = 1.26061589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23618510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.532409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26061589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.227970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60609 KachelY 26825 -0.23618510 1.26061589 -13.532409 72.227970
    Oben rechts KachelX + 1 60610 KachelY 26825 -0.23613717 1.26061589 -13.529663 72.227970
    Unten links KachelX 60609 KachelY + 1 26826 -0.23618510 1.26060126 -13.532409 72.227132
    Unten rechts KachelX + 1 60610 KachelY + 1 26826 -0.23613717 1.26060126 -13.529663 72.227132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26061589-1.26060126) × R
    1.46299999999044e-05 × 6371000     		dl = 93.2077299993912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26061589-1.26060126) × R
    1.46299999999044e-05 × 6371000     		dr = 93.2077299993912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23618510--0.23613717) × cos(1.26061589) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.30523046749357 × 6371000     		do = 93.2057951716886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23618510--0.23613717) × cos(1.26060126) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.305244399295514 × 6371000     		du = 93.2100494150118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26061589)-sin(1.26060126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30523046749357-0.305244399295514)×R²
    abs(-0.23613717--0.23618510)×1.39318019439227e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.39318019439227e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.39318019439227e-05×40589641000000     		ar = 8687.69885513138m²