Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60608 / 33347
↖ ↑ ↗
← N 65.871357°
W 13.535156°		 ← 124.85 m → N 65.871357°
W 13.532409°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
N 65.870234°
W 13.535156°		 ← 124.86 m →
15 591 m²		 N 65.870234°
W 13.532409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462406158447266 y=0.254421234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462406158447266 × 217)
    floor (0.462406158447266 × 131072)
    floor (60608.5)     		tx = 60608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254421234130859 × 217)
    floor (0.254421234130859 × 131072)
    floor (33347.5)     		ty = 33347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60608 / 33347 ti = "17/60608/33347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60608/33347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60608 ÷ 217
    60608 ÷ 131072     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33347 ÷ 217
    33347 ÷ 131072     		y = 0.254417419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254417419433594 × 2 - 1) × π
    0.491165161132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.54304086186999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54304086186999))-π/2
    2×atan(4.6787962339211)-π/2
    2×1.36023419103954-π/2
    2.72046838207908-1.57079632675     		φ = 1.14967206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14967206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.871357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60608 KachelY 33347 -0.23623304 1.14967206 -13.535156 65.871357
    Oben rechts KachelX + 1 60609 KachelY 33347 -0.23618510 1.14967206 -13.532409 65.871357
    Unten links KachelX 60608 KachelY + 1 33348 -0.23623304 1.14965246 -13.535156 65.870234
    Unten rechts KachelX + 1 60609 KachelY + 1 33348 -0.23618510 1.14965246 -13.532409 65.870234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14967206-1.14965246) × R
    1.96000000001195e-05 × 6371000     		dl = 124.871600000761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14967206-1.14965246) × R
    1.96000000001195e-05 × 6371000     		dr = 124.871600000761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23618510) × cos(1.14967206) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408786750720043 × 6371000     		do = 124.853995840855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23618510) × cos(1.14965246) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408804638188186 × 6371000     		du = 124.859459134049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14967206)-sin(1.14965246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408786750720043-0.408804638188186)×R²
    abs(-0.23618510--0.23623304)×1.78874681426855e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78874681426855e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78874681426855e-05×40589641000000     		ar = 15591.059332598m²