Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60608 / 26311
↖ ↑ ↗
← N 72.653857°
W 13.535156°		 ← 91.06 m → N 72.653857°
W 13.532409°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
N 72.653038°
W 13.535156°		 ← 91.06 m →
8 291 m²		 N 72.653038°
W 13.532409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462406158447266 y=0.200740814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462406158447266 × 217)
    floor (0.462406158447266 × 131072)
    floor (60608.5)     		tx = 60608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200740814208984 × 217)
    floor (0.200740814208984 × 131072)
    floor (26311.5)     		ty = 26311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60608 / 26311 ti = "17/60608/26311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60608/26311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60608 ÷ 217
    60608 ÷ 131072     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26311 ÷ 217
    26311 ÷ 131072     		y = 0.200736999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200736999511719 × 2 - 1) × π
    0.598526000976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.8803248875967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8803248875967))-π/2
    2×atan(6.55563436054087)-π/2
    2×1.41942267506784-π/2
    2.83884535013568-1.57079632675     		φ = 1.26804902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26804902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.653857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60608 KachelY 26311 -0.23623304 1.26804902 -13.535156 72.653857
    Oben rechts KachelX + 1 60609 KachelY 26311 -0.23618510 1.26804902 -13.532409 72.653857
    Unten links KachelX 60608 KachelY + 1 26312 -0.23623304 1.26803473 -13.535156 72.653038
    Unten rechts KachelX + 1 60609 KachelY + 1 26312 -0.23618510 1.26803473 -13.532409 72.653038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26804902-1.26803473) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26804902-1.26803473) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23618510) × cos(1.26804902) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298143690540276 × 6371000     		do = 91.0607573095877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23618510) × cos(1.26803473) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298157330614927 × 6371000     		du = 91.0649233394817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26804902)-sin(1.26803473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298143690540276-0.298157330614927)×R²
    abs(-0.23618510--0.23623304)×1.36400746510446e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36400746510446e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36400746510446e-05×40589641000000     		ar = 8290.50577308577m²