Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60607 / 56129
↖ ↑ ↗
← N 25.003483°
W 13.537903°		 ← 276.80 m → N 25.003483°
W 13.535156°		 →
↑
276.76 m
↓
↑
276.76 m
↓
N 25.000994°
W 13.537903°		 ← 276.81 m →
76 607 m²		 N 25.000994°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462398529052734 y=0.428234100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462398529052734 × 217)
    floor (0.462398529052734 × 131072)
    floor (60607.5)     		tx = 60607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428234100341797 × 217)
    floor (0.428234100341797 × 131072)
    floor (56129.5)     		ty = 56129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60607 / 56129 ti = "17/60607/56129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60607/56129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60607 ÷ 217
    60607 ÷ 131072     		x = 0.462394714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56129 ÷ 217
    56129 ÷ 131072     		y = 0.428230285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462394714355469 × 2 - 1) × π
    -0.0752105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23628098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428230285644531 × 2 - 1) × π
    0.143539428710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.450942414725868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23628098} λ = -0.23628098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450942414725868))-π/2
    2×atan(1.56979088265208)-π/2
    2×1.00359471919239-π/2
    2.00718943838479-1.57079632675     		φ = 0.43639311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23628098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.537903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43639311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.003483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60607 KachelY 56129 -0.23628098 0.43639311 -13.537903 25.003483
    Oben rechts KachelX + 1 60608 KachelY 56129 -0.23623304 0.43639311 -13.535156 25.003483
    Unten links KachelX 60607 KachelY + 1 56130 -0.23628098 0.43634967 -13.537903 25.000994
    Unten rechts KachelX + 1 60608 KachelY + 1 56130 -0.23623304 0.43634967 -13.535156 25.000994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43639311-0.43634967) × R
    4.34399999999502e-05 × 6371000     		dl = 276.756239999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43639311-0.43634967) × R
    4.34399999999502e-05 × 6371000     		dr = 276.756239999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23628098--0.23623304) × cos(0.43639311) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906282091438626 × 6371000     		do = 276.801878426369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23628098--0.23623304) × cos(0.43634967) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906300451514363 × 6371000     		du = 276.807486066087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43639311)-sin(0.43634967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906282091438626-0.906300451514363)×R²
    abs(-0.23623304--0.23628098)×1.83600757365232e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83600757365232e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83600757365232e-05×40589641000000     		ar = 76607.4230848448m²