Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60607 / 41221
↖ ↑ ↗
← N 55.371308°
W 13.537903°		 ← 173.56 m → N 55.371308°
W 13.535156°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
N 55.369746°
W 13.537903°		 ← 173.57 m →
30 132 m²		 N 55.369746°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462398529052734 y=0.314495086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462398529052734 × 217)
    floor (0.462398529052734 × 131072)
    floor (60607.5)     		tx = 60607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314495086669922 × 217)
    floor (0.314495086669922 × 131072)
    floor (41221.5)     		ty = 41221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60607 / 41221 ti = "17/60607/41221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60607/41221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60607 ÷ 217
    60607 ÷ 131072     		x = 0.462394714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41221 ÷ 217
    41221 ÷ 131072     		y = 0.314491271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462394714355469 × 2 - 1) × π
    -0.0752105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23628098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314491271972656 × 2 - 1) × π
    0.371017456054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.16558571426167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23628098} λ = -0.23628098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16558571426167))-π/2
    2×atan(3.20780118797856)-π/2
    2×1.26860397611185-π/2
    2.5372079522237-1.57079632675     		φ = 0.96641163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23628098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.537903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96641163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.371308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60607 KachelY 41221 -0.23628098 0.96641163 -13.537903 55.371308
    Oben rechts KachelX + 1 60608 KachelY 41221 -0.23623304 0.96641163 -13.535156 55.371308
    Unten links KachelX 60607 KachelY + 1 41222 -0.23628098 0.96638438 -13.537903 55.369746
    Unten rechts KachelX + 1 60608 KachelY + 1 41222 -0.23623304 0.96638438 -13.535156 55.369746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96641163-0.96638438) × R
    2.72499999999232e-05 × 6371000     		dl = 173.609749999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96641163-0.96638438) × R
    2.72499999999232e-05 × 6371000     		dr = 173.609749999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23628098--0.23623304) × cos(0.96641163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568255880447858 × 6371000     		do = 173.559972795125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23628098--0.23623304) × cos(0.96638438) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56827830295123 × 6371000     		du = 173.56682120481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96641163)-sin(0.96638438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568255880447858-0.56827830295123)×R²
    abs(-0.23623304--0.23628098)×2.24225033722547e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24225033722547e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24225033722547e-05×40589641000000     		ar = 30132.2979640085m²