Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60607 / 33344
↖ ↑ ↗
← N 65.874725°
W 13.537903°		 ← 124.84 m → N 65.874725°
W 13.535156°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
N 65.873602°
W 13.537903°		 ← 124.84 m →
15 581 m²		 N 65.873602°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462398529052734 y=0.254398345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462398529052734 × 217)
    floor (0.462398529052734 × 131072)
    floor (60607.5)     		tx = 60607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254398345947266 × 217)
    floor (0.254398345947266 × 131072)
    floor (33344.5)     		ty = 33344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60607 / 33344 ti = "17/60607/33344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60607/33344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60607 ÷ 217
    60607 ÷ 131072     		x = 0.462394714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33344 ÷ 217
    33344 ÷ 131072     		y = 0.25439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462394714355469 × 2 - 1) × π
    -0.0752105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23628098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25439453125 × 2 - 1) × π
    0.4912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54318467256885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23628098} λ = -0.23628098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54318467256885))-π/2
    2×atan(4.67946914326195)-π/2
    2×1.36026358306515-π/2
    2.7205271661303-1.57079632675     		φ = 1.14973084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23628098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.537903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14973084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.874725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60607 KachelY 33344 -0.23628098 1.14973084 -13.537903 65.874725
    Oben rechts KachelX + 1 60608 KachelY 33344 -0.23623304 1.14973084 -13.535156 65.874725
    Unten links KachelX 60607 KachelY + 1 33345 -0.23628098 1.14971125 -13.537903 65.873602
    Unten rechts KachelX + 1 60608 KachelY + 1 33345 -0.23623304 1.14971125 -13.535156 65.873602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14973084-1.14971125) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dl = 124.807889999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14973084-1.14971125) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dr = 124.807889999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23628098--0.23623304) × cos(1.14973084) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408733105626485 × 6371000     		do = 124.837611248458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23628098--0.23623304) × cos(1.14971125) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408750984439106 × 6371000     		du = 124.843071898033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14973084)-sin(1.14971125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408733105626485-0.408750984439106)×R²
    abs(-0.23623304--0.23628098)×1.78788126207752e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78788126207752e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78788126207752e-05×40589641000000     		ar = 15581.0596192366m²