Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60607 / 26309
↖ ↑ ↗
← N 72.655495°
W 13.537903°		 ← 91.05 m → N 72.655495°
W 13.535156°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
N 72.654676°
W 13.537903°		 ← 91.06 m →
8 290 m²		 N 72.654676°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462398529052734 y=0.200725555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462398529052734 × 217)
    floor (0.462398529052734 × 131072)
    floor (60607.5)     		tx = 60607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200725555419922 × 217)
    floor (0.200725555419922 × 131072)
    floor (26309.5)     		ty = 26309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60607 / 26309 ti = "17/60607/26309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60607/26309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60607 ÷ 217
    60607 ÷ 131072     		x = 0.462394714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26309 ÷ 217
    26309 ÷ 131072     		y = 0.200721740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462394714355469 × 2 - 1) × π
    -0.0752105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23628098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200721740722656 × 2 - 1) × π
    0.598556518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.88042076139594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23628098} λ = -0.23628098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88042076139594))-π/2
    2×atan(6.5562629042434)-π/2
    2×1.41943696649791-π/2
    2.83887393299582-1.57079632675     		φ = 1.26807761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23628098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.537903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26807761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.655495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60607 KachelY 26309 -0.23628098 1.26807761 -13.537903 72.655495
    Oben rechts KachelX + 1 60608 KachelY 26309 -0.23623304 1.26807761 -13.535156 72.655495
    Unten links KachelX 60607 KachelY + 1 26310 -0.23628098 1.26806332 -13.537903 72.654676
    Unten rechts KachelX + 1 60608 KachelY + 1 26310 -0.23623304 1.26806332 -13.535156 72.654676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26807761-1.26806332) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26807761-1.26806332) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23628098--0.23623304) × cos(1.26807761) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298116400663035 × 6371000     		do = 91.0524222786369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23628098--0.23623304) × cos(1.26806332) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.29813004085949 × 6371000     		du = 91.0565883457329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26807761)-sin(1.26806332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298116400663035-0.29813004085949)×R²
    abs(-0.23623304--0.23628098)×1.36401964551669e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36401964551669e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36401964551669e-05×40589641000000     		ar = 8289.746940478m²