Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60606 / 26313
↖ ↑ ↗
← N 72.652220°
W 13.540650°		 ← 91.07 m → N 72.652220°
W 13.537903°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
N 72.651400°
W 13.540650°		 ← 91.07 m →
8 297 m²		 N 72.651400°
W 13.537903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462390899658203 y=0.200756072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462390899658203 × 217)
    floor (0.462390899658203 × 131072)
    floor (60606.5)     		tx = 60606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200756072998047 × 217)
    floor (0.200756072998047 × 131072)
    floor (26313.5)     		ty = 26313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60606 / 26313 ti = "17/60606/26313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60606/26313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60606 ÷ 217
    60606 ÷ 131072     		x = 0.462387084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26313 ÷ 217
    26313 ÷ 131072     		y = 0.200752258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462387084960938 × 2 - 1) × π
    -0.075225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23632892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200752258300781 × 2 - 1) × π
    0.598495483398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.88022901379746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23632892} λ = -0.23632892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88022901379746))-π/2
    2×atan(6.55500587709633)-π/2
    2×1.41940838232985-π/2
    2.8388167646597-1.57079632675     		φ = 1.26802044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23632892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.540650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26802044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.652220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60606 KachelY 26313 -0.23632892 1.26802044 -13.540650 72.652220
    Oben rechts KachelX + 1 60607 KachelY 26313 -0.23628098 1.26802044 -13.537903 72.652220
    Unten links KachelX 60606 KachelY + 1 26314 -0.23632892 1.26800614 -13.540650 72.651400
    Unten rechts KachelX + 1 60607 KachelY + 1 26314 -0.23628098 1.26800614 -13.537903 72.651400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26802044-1.26800614) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dl = 91.1052999994368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26802044-1.26800614) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dr = 91.1052999994368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23632892--0.23628098) × cos(1.26802044) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298170970628693 × 6371000     		do = 91.0690893507798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23632892--0.23628098) × cos(1.26800614) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298184620126653 × 6371000     		du = 91.073258258795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26802044)-sin(1.26800614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298170970628693-0.298184620126653)×R²
    abs(-0.23628098--0.23632892)×1.36494979604551e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36494979604551e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36494979604551e-05×40589641000000     		ar = 8297.06661101508m²