Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60604 / 26821
↖ ↑ ↗
← N 72.231323°
W 13.546143°		 ← 93.21 m → N 72.231323°
W 13.543396°		 →
↑
93.21 m
↓
↑
93.21 m
↓
N 72.230485°
W 13.546143°		 ← 93.21 m →
8 688 m²		 N 72.230485°
W 13.543396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462375640869141 y=0.204631805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462375640869141 × 217)
    floor (0.462375640869141 × 131072)
    floor (60604.5)     		tx = 60604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204631805419922 × 217)
    floor (0.204631805419922 × 131072)
    floor (26821.5)     		ty = 26821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60604 / 26821 ti = "17/60604/26821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60604/26821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60604 ÷ 217
    60604 ÷ 131072     		x = 0.462371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26821 ÷ 217
    26821 ÷ 131072     		y = 0.204627990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204627990722656 × 2 - 1) × π
    0.590744018554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.85587706879047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23642479} λ = -0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85587706879047))-π/2
    2×atan(6.3973066687994)-π/2
    2×1.41573537042668-π/2
    2.83147074085336-1.57079632675     		φ = 1.26067441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26067441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.231323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60604 KachelY 26821 -0.23642479 1.26067441 -13.546143 72.231323
    Oben rechts KachelX + 1 60605 KachelY 26821 -0.23637685 1.26067441 -13.543396 72.231323
    Unten links KachelX 60604 KachelY + 1 26822 -0.23642479 1.26065978 -13.546143 72.230485
    Unten rechts KachelX + 1 60605 KachelY + 1 26822 -0.23637685 1.26065978 -13.543396 72.230485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26067441-1.26065978) × R
    1.46300000001265e-05 × 6371000     		dl = 93.2077300008058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26067441-1.26065978) × R
    1.46300000001265e-05 × 6371000     		dr = 93.2077300008058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23642479--0.23637685) × cos(1.26067441) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305174739632518 × 6371000     		do = 93.208220681562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23642479--0.23637685) × cos(1.26065978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305188671695767 × 6371000     		du = 93.2124758922894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26067441)-sin(1.26065978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305174739632518-0.305188671695767)×R²
    abs(-0.23637685--0.23642479)×1.39320632485673e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39320632485673e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39320632485673e-05×40589641000000     		ar = 8687.92497665631m²