Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60604 / 26308
↖ ↑ ↗
← N 72.656314°
W 13.546143°		 ← 91.05 m → N 72.656314°
W 13.543396°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
N 72.655495°
W 13.546143°		 ← 91.05 m →
8 289 m²		 N 72.655495°
W 13.543396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462375640869141 y=0.200717926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462375640869141 × 217)
    floor (0.462375640869141 × 131072)
    floor (60604.5)     		tx = 60604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200717926025391 × 217)
    floor (0.200717926025391 × 131072)
    floor (26308.5)     		ty = 26308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60604 / 26308 ti = "17/60604/26308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60604/26308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60604 ÷ 217
    60604 ÷ 131072     		x = 0.462371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26308 ÷ 217
    26308 ÷ 131072     		y = 0.200714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200714111328125 × 2 - 1) × π
    0.59857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88046869829556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23642479} λ = -0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88046869829556))-π/2
    2×atan(6.55657719869322)-π/2
    2×1.41944411172251-π/2
    2.83888822344502-1.57079632675     		φ = 1.26809190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26809190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.656314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60604 KachelY 26308 -0.23642479 1.26809190 -13.546143 72.656314
    Oben rechts KachelX + 1 60605 KachelY 26308 -0.23637685 1.26809190 -13.543396 72.656314
    Unten links KachelX 60604 KachelY + 1 26309 -0.23642479 1.26807761 -13.546143 72.655495
    Unten rechts KachelX + 1 60605 KachelY + 1 26309 -0.23637685 1.26807761 -13.543396 72.655495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26809190-1.26807761) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26809190-1.26807761) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23642479--0.23637685) × cos(1.26809190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298102760405703 × 6371000     		do = 91.0482561929475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23642479--0.23637685) × cos(1.26807761) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298116400663035 × 6371000     		du = 91.0524222786369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26809190)-sin(1.26807761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298102760405703-0.298116400663035)×R²
    abs(-0.23637685--0.23642479)×1.3640257331804e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3640257331804e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3640257331804e-05×40589641000000     		ar = 8289.36765401096m²