Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60602 / 39973
↖ ↑ ↗
← N 57.271618°
W 13.551636°		 ← 165.10 m → N 57.271618°
W 13.548889°		 →
↑
165.07 m
↓
↑
165.07 m
↓
N 57.270134°
W 13.551636°		 ← 165.10 m →
27 253 m²		 N 57.270134°
W 13.548889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462360382080078 y=0.304973602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462360382080078 × 217)
    floor (0.462360382080078 × 131072)
    floor (60602.5)     		tx = 60602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304973602294922 × 217)
    floor (0.304973602294922 × 131072)
    floor (39973.5)     		ty = 39973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60602 / 39973 ti = "17/60602/39973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60602/39973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60602 ÷ 217
    60602 ÷ 131072     		x = 0.462356567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39973 ÷ 217
    39973 ÷ 131072     		y = 0.304969787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462356567382812 × 2 - 1) × π
    -0.075286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23652066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304969787597656 × 2 - 1) × π
    0.390060424804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.2254109649875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23652066} λ = -0.23652066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2254109649875))-π/2
    2×atan(3.40556536337043)-π/2
    2×1.28518732067763-π/2
    2.57037464135527-1.57079632675     		φ = 0.99957831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23652066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.551636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99957831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.271618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60602 KachelY 39973 -0.23652066 0.99957831 -13.551636 57.271618
    Oben rechts KachelX + 1 60603 KachelY 39973 -0.23647273 0.99957831 -13.548889 57.271618
    Unten links KachelX 60602 KachelY + 1 39974 -0.23652066 0.99955240 -13.551636 57.270134
    Unten rechts KachelX + 1 60603 KachelY + 1 39974 -0.23647273 0.99955240 -13.548889 57.270134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99957831-0.99955240) × R
    2.59099999999624e-05 × 6371000     		dl = 165.07260999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99957831-0.99955240) × R
    2.59099999999624e-05 × 6371000     		dr = 165.07260999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23652066--0.23647273) × cos(0.99957831) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540657097718266 × 6371000     		do = 165.096148893164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23652066--0.23647273) × cos(0.99955240) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540678894144726 × 6371000     		du = 165.102804694194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99957831)-sin(0.99955240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540657097718266-0.540678894144726)×R²
    abs(-0.23647273--0.23652066)×2.17964264599413e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17964264599413e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17964264599413e-05×40589641000000     		ar = 27253.4015454515m²