Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60600 / 26824
↖ ↑ ↗
← N 72.228808°
W 13.557129°		 ← 93.22 m → N 72.228808°
W 13.554382°		 →
↑
93.21 m
↓
↑
93.21 m
↓
N 72.227970°
W 13.557129°		 ← 93.23 m →
8 689 m²		 N 72.227970°
W 13.554382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462345123291016 y=0.204654693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462345123291016 × 217)
    floor (0.462345123291016 × 131072)
    floor (60600.5)     		tx = 60600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204654693603516 × 217)
    floor (0.204654693603516 × 131072)
    floor (26824.5)     		ty = 26824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60600 / 26824 ti = "17/60600/26824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60600/26824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60600 ÷ 217
    60600 ÷ 131072     		x = 0.46234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26824 ÷ 217
    26824 ÷ 131072     		y = 0.20465087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23661654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20465087890625 × 2 - 1) × π
    0.5906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85573325809161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23661654} λ = -0.23661654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85573325809161))-π/2
    2×atan(6.39638673380637)-π/2
    2×1.41571342522801-π/2
    2.83142685045601-1.57079632675     		φ = 1.26063052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23661654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26063052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.228808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60600 KachelY 26824 -0.23661654 1.26063052 -13.557129 72.228808
    Oben rechts KachelX + 1 60601 KachelY 26824 -0.23656860 1.26063052 -13.554382 72.228808
    Unten links KachelX 60600 KachelY + 1 26825 -0.23661654 1.26061589 -13.557129 72.227970
    Unten rechts KachelX + 1 60601 KachelY + 1 26825 -0.23656860 1.26061589 -13.554382 72.227970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26063052-1.26061589) × R
    1.46300000001265e-05 × 6371000     		dl = 93.2077300008058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26063052-1.26061589) × R
    1.46300000001265e-05 × 6371000     		dr = 93.2077300008058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23661654--0.23656860) × cos(1.26063052) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305216535626295 × 6371000     		do = 93.2209862538905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23661654--0.23656860) × cos(1.26061589) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.30523046749357 × 6371000     		du = 93.2252414047624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26063052)-sin(1.26061589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305216535626295-0.30523046749357)×R²
    abs(-0.23656860--0.23661654)×1.39318672746636e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39318672746636e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39318672746636e-05×40589641000000     		ar = 8689.11482372249m²