Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60598 / 84166
↖ ↑ ↗
← S 45.471688°
W 13.562622°		 ← 214.18 m → S 45.471688°
W 13.559875°		 →
↑
214.13 m
↓
↑
214.13 m
↓
S 45.473614°
W 13.562622°		 ← 214.18 m →
45 862 m²		 S 45.473614°
W 13.559875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462329864501953 y=0.642139434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462329864501953 × 217)
    floor (0.462329864501953 × 131072)
    floor (60598.5)     		tx = 60598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642139434814453 × 217)
    floor (0.642139434814453 × 131072)
    floor (84166.5)     		ty = 84166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60598 / 84166 ti = "17/60598/84166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60598/84166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60598 ÷ 217
    60598 ÷ 131072     		x = 0.462326049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84166 ÷ 217
    84166 ÷ 131072     		y = 0.642135620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462326049804688 × 2 - 1) × π
    -0.075347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23671241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642135620117188 × 2 - 1) × π
    -0.284271240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.893064439921646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23671241} λ = -0.23671241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893064439921646))-π/2
    2×atan(0.409399249092842)-π/2
    2×0.388582825134213-π/2
    0.777165650268426-1.57079632675     		φ = -0.79363068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23671241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.562622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79363068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.471688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60598 KachelY 84166 -0.23671241 -0.79363068 -13.562622 -45.471688
    Oben rechts KachelX + 1 60599 KachelY 84166 -0.23666447 -0.79363068 -13.559875 -45.471688
    Unten links KachelX 60598 KachelY + 1 84167 -0.23671241 -0.79366429 -13.562622 -45.473614
    Unten rechts KachelX + 1 60599 KachelY + 1 84167 -0.23666447 -0.79366429 -13.559875 -45.473614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79363068--0.79366429) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dl = 214.12931000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79363068--0.79366429) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dr = 214.12931000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23671241--0.23666447) × cos(-0.79363068) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.701261616917159 × 6371000     		do = 214.183348280628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23671241--0.23666447) × cos(-0.79366429) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.701237655816899 × 6371000     		du = 214.176029943849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79363068)-sin(-0.79366429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701261616917159-0.701237655816899)×R²
    abs(-0.23666447--0.23671241)×2.39611002600393e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39611002600393e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39611002600393e-05×40589641000000     		ar = 45862.149050013m²