Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60598 / 82622
↖ ↑ ↗
← S 42.419401°
W 13.562622°		 ← 225.47 m → S 42.419401°
W 13.559875°		 →
↑
225.47 m
↓
↑
225.47 m
↓
S 42.421429°
W 13.562622°		 ← 225.47 m →
50 837 m²		 S 42.421429°
W 13.559875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462329864501953 y=0.630359649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462329864501953 × 217)
    floor (0.462329864501953 × 131072)
    floor (60598.5)     		tx = 60598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630359649658203 × 217)
    floor (0.630359649658203 × 131072)
    floor (82622.5)     		ty = 82622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60598 / 82622 ti = "17/60598/82622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60598/82622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60598 ÷ 217
    60598 ÷ 131072     		x = 0.462326049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82622 ÷ 217
    82622 ÷ 131072     		y = 0.630355834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462326049804688 × 2 - 1) × π
    -0.075347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23671241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630355834960938 × 2 - 1) × π
    -0.260711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.819049866908279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23671241} λ = -0.23671241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.819049866908279))-π/2
    2×atan(0.440850322059039)-π/2
    2×0.415219052416429-π/2
    0.830438104832859-1.57079632675     		φ = -0.74035822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23671241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.562622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74035822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.419401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60598 KachelY 82622 -0.23671241 -0.74035822 -13.562622 -42.419401
    Oben rechts KachelX + 1 60599 KachelY 82622 -0.23666447 -0.74035822 -13.559875 -42.419401
    Unten links KachelX 60598 KachelY + 1 82623 -0.23671241 -0.74039361 -13.562622 -42.421429
    Unten rechts KachelX + 1 60599 KachelY + 1 82623 -0.23666447 -0.74039361 -13.559875 -42.421429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74035822--0.74039361) × R
    3.53900000000795e-05 × 6371000     		dl = 225.469690000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74035822--0.74039361) × R
    3.53900000000795e-05 × 6371000     		dr = 225.469690000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23671241--0.23666447) × cos(-0.74035822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738226967938329 × 6371000     		do = 225.473517970634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23671241--0.23666447) × cos(-0.74039361) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.73820309506651 × 6371000     		du = 225.466226581092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74035822)-sin(-0.74039361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738226967938329-0.73820309506651)×R²
    abs(-0.23666447--0.23671241)×2.38728718189307e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38728718189307e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38728718189307e-05×40589641000000     		ar = 50836.6222116992m²