Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60598 / 41214
↖ ↑ ↗
← N 55.382231°
W 13.562622°		 ← 173.51 m → N 55.382231°
W 13.559875°		 →
↑
173.48 m
↓
↑
173.48 m
↓
N 55.380671°
W 13.562622°		 ← 173.52 m →
30 102 m²		 N 55.380671°
W 13.559875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462329864501953 y=0.314441680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462329864501953 × 217)
    floor (0.462329864501953 × 131072)
    floor (60598.5)     		tx = 60598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314441680908203 × 217)
    floor (0.314441680908203 × 131072)
    floor (41214.5)     		ty = 41214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60598 / 41214 ti = "17/60598/41214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60598/41214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60598 ÷ 217
    60598 ÷ 131072     		x = 0.462326049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41214 ÷ 217
    41214 ÷ 131072     		y = 0.314437866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462326049804688 × 2 - 1) × π
    -0.075347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23671241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314437866210938 × 2 - 1) × π
    0.371124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16592127255901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23671241} λ = -0.23671241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16592127255901))-π/2
    2×atan(3.2088777729018)-π/2
    2×1.26869930443837-π/2
    2.53739860887673-1.57079632675     		φ = 0.96660228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23671241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.562622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96660228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.382231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60598 KachelY 41214 -0.23671241 0.96660228 -13.562622 55.382231
    Oben rechts KachelX + 1 60599 KachelY 41214 -0.23666447 0.96660228 -13.559875 55.382231
    Unten links KachelX 60598 KachelY + 1 41215 -0.23671241 0.96657505 -13.562622 55.380671
    Unten rechts KachelX + 1 60599 KachelY + 1 41215 -0.23666447 0.96657505 -13.559875 55.380671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96660228-0.96657505) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dl = 173.482330000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96660228-0.96657505) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dr = 173.482330000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23671241--0.23666447) × cos(0.96660228) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568098993406175 × 6371000     		do = 173.512055454423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23671241--0.23666447) × cos(0.96657505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568121402402514 × 6371000     		du = 173.518899738713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96660228)-sin(0.96657505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568098993406175-0.568121402402514)×R²
    abs(-0.23666447--0.23671241)×2.24089963382079e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24089963382079e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24089963382079e-05×40589641000000     		ar = 30101.8693463541m²