Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60598 / 40108
↖ ↑ ↗
← N 57.070603°
W 13.562622°		 ← 166.03 m → N 57.070603°
W 13.559875°		 →
↑
166.03 m
↓
↑
166.03 m
↓
N 57.069110°
W 13.562622°		 ← 166.04 m →
27 566 m²		 N 57.069110°
W 13.559875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462329864501953 y=0.306003570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462329864501953 × 217)
    floor (0.462329864501953 × 131072)
    floor (60598.5)     		tx = 60598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306003570556641 × 217)
    floor (0.306003570556641 × 131072)
    floor (40108.5)     		ty = 40108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60598 / 40108 ti = "17/60598/40108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60598/40108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60598 ÷ 217
    60598 ÷ 131072     		x = 0.462326049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40108 ÷ 217
    40108 ÷ 131072     		y = 0.305999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462326049804688 × 2 - 1) × π
    -0.075347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23671241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305999755859375 × 2 - 1) × π
    0.38800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21893948353879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23671241} λ = -0.23671241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21893948353879))-π/2
    2×atan(3.38359746937628)-π/2
    2×1.28343312742559-π/2
    2.56686625485119-1.57079632675     		φ = 0.99606993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23671241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.562622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99606993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.070603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60598 KachelY 40108 -0.23671241 0.99606993 -13.562622 57.070603
    Oben rechts KachelX + 1 60599 KachelY 40108 -0.23666447 0.99606993 -13.559875 57.070603
    Unten links KachelX 60598 KachelY + 1 40109 -0.23671241 0.99604387 -13.562622 57.069110
    Unten rechts KachelX + 1 60599 KachelY + 1 40109 -0.23666447 0.99604387 -13.559875 57.069110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99606993-0.99604387) × R
    2.60599999999389e-05 × 6371000     		dl = 166.028259999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99606993-0.99604387) × R
    2.60599999999389e-05 × 6371000     		dr = 166.028259999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23671241--0.23666447) × cos(0.99606993) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.543605164627481 × 6371000     		do = 166.031009674253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23671241--0.23666447) × cos(0.99604387) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.543627037671069 × 6371000     		du = 166.037690264778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99606993)-sin(0.99604387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543605164627481-0.543627037671069)×R²
    abs(-0.23666447--0.23671241)×2.18730435885828e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18730435885828e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18730435885828e-05×40589641000000     		ar = 27566.3942271757m²