Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60596 / 26868
↖ ↑ ↗
← N 72.191886°
W 13.568115°		 ← 93.39 m → N 72.191886°
W 13.565369°		 →
↑
93.40 m
↓
↑
93.40 m
↓
N 72.191046°
W 13.568115°		 ← 93.39 m →
8 723 m²		 N 72.191046°
W 13.565369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462314605712891 y=0.204990386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462314605712891 × 217)
    floor (0.462314605712891 × 131072)
    floor (60596.5)     		tx = 60596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204990386962891 × 217)
    floor (0.204990386962891 × 131072)
    floor (26868.5)     		ty = 26868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60596 / 26868 ti = "17/60596/26868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60596/26868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60596 ÷ 217
    60596 ÷ 131072     		x = 0.462310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26868 ÷ 217
    26868 ÷ 131072     		y = 0.204986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.07537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23680828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204986572265625 × 2 - 1) × π
    0.59002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85362403450833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23680828} λ = -0.23680828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85362403450833))-π/2
    2×atan(6.38290954226122)-π/2
    2×1.41539121681448-π/2
    2.83078243362896-1.57079632675     		φ = 1.25998611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23680828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25998611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.191886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60596 KachelY 26868 -0.23680828 1.25998611 -13.568115 72.191886
    Oben rechts KachelX + 1 60597 KachelY 26868 -0.23676035 1.25998611 -13.565369 72.191886
    Unten links KachelX 60596 KachelY + 1 26869 -0.23680828 1.25997145 -13.568115 72.191046
    Unten rechts KachelX + 1 60597 KachelY + 1 26869 -0.23676035 1.25997145 -13.565369 72.191046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25998611-1.25997145) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dl = 93.3988599996443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25998611-1.25997145) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dr = 93.3988599996443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23680828--0.23676035) × cos(1.25998611) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.305830132883633 × 6371000     		do = 93.3889102125189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23680828--0.23676035) × cos(1.25997145) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.305844090432902 × 6371000     		du = 93.3931723180976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25998611)-sin(1.25997145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305830132883633-0.305844090432902)×R²
    abs(-0.23676035--0.23680828)×1.39575492693056e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.39575492693056e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.39575492693056e-05×40589641000000     		ar = 8722.61678848366m²