Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60594 / 82607
↖ ↑ ↗
← S 42.388980°
W 13.573609°		 ← 225.58 m → S 42.388980°
W 13.570862°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
S 42.391008°
W 13.573609°		 ← 225.58 m →
50 876 m²		 S 42.391008°
W 13.570862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462299346923828 y=0.630245208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462299346923828 × 217)
    floor (0.462299346923828 × 131072)
    floor (60594.5)     		tx = 60594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630245208740234 × 217)
    floor (0.630245208740234 × 131072)
    floor (82607.5)     		ty = 82607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60594 / 82607 ti = "17/60594/82607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60594/82607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60594 ÷ 217
    60594 ÷ 131072     		x = 0.462295532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82607 ÷ 217
    82607 ÷ 131072     		y = 0.630241394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462295532226562 × 2 - 1) × π
    -0.075408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23690416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630241394042969 × 2 - 1) × π
    -0.260482788085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.818330813413979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23690416} λ = -0.23690416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818330813413979))-π/2
    2×atan(0.441167431019069)-π/2
    2×0.415484529122034-π/2
    0.830969058244069-1.57079632675     		φ = -0.73982727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23690416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73982727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.388980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60594 KachelY 82607 -0.23690416 -0.73982727 -13.573609 -42.388980
    Oben rechts KachelX + 1 60595 KachelY 82607 -0.23685622 -0.73982727 -13.570862 -42.388980
    Unten links KachelX 60594 KachelY + 1 82608 -0.23690416 -0.73986267 -13.573609 -42.391008
    Unten rechts KachelX + 1 60595 KachelY + 1 82608 -0.23685622 -0.73986267 -13.570862 -42.391008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73982727--0.73986267) × R
    3.53999999999077e-05 × 6371000     		dl = 225.533399999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73982727--0.73986267) × R
    3.53999999999077e-05 × 6371000     		dr = 225.533399999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23690416--0.23685622) × cos(-0.73982727) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.738585017463638 × 6371000     		do = 225.582875511727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23690416--0.23685622) × cos(-0.73986267) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.738561151724616 × 6371000     		du = 225.575586300726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73982727)-sin(-0.73986267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738585017463638-0.738561151724616)×R²
    abs(-0.23685622--0.23690416)×2.38657390222441e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38657390222441e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38657390222441e-05×40589641000000     		ar = 50875.6509207798m²