Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60594 / 41210
↖ ↑ ↗
← N 55.388472°
W 13.573609°		 ← 173.48 m → N 55.388472°
W 13.570862°		 →
↑
173.48 m
↓
↑
173.48 m
↓
N 55.386912°
W 13.573609°		 ← 173.49 m →
30 097 m²		 N 55.386912°
W 13.570862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462299346923828 y=0.314411163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462299346923828 × 217)
    floor (0.462299346923828 × 131072)
    floor (60594.5)     		tx = 60594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314411163330078 × 217)
    floor (0.314411163330078 × 131072)
    floor (41210.5)     		ty = 41210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60594 / 41210 ti = "17/60594/41210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60594/41210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60594 ÷ 217
    60594 ÷ 131072     		x = 0.462295532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41210 ÷ 217
    41210 ÷ 131072     		y = 0.314407348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462295532226562 × 2 - 1) × π
    -0.075408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23690416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314407348632812 × 2 - 1) × π
    0.371185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16611302015749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23690416} λ = -0.23690416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16611302015749))-π/2
    2×atan(3.20949312650297)-π/2
    2×1.26875376594979-π/2
    2.53750753189959-1.57079632675     		φ = 0.96671121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23690416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96671121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.388472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60594 KachelY 41210 -0.23690416 0.96671121 -13.573609 55.388472
    Oben rechts KachelX + 1 60595 KachelY 41210 -0.23685622 0.96671121 -13.570862 55.388472
    Unten links KachelX 60594 KachelY + 1 41211 -0.23690416 0.96668398 -13.573609 55.386912
    Unten rechts KachelX + 1 60595 KachelY + 1 41211 -0.23685622 0.96668398 -13.570862 55.386912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96671121-0.96668398) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dl = 173.482330000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96671121-0.96668398) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dr = 173.482330000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23690416--0.23685622) × cos(0.96671121) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568009344978468 × 6371000     		do = 173.484674516951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23690416--0.23685622) × cos(0.96668398) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568031755659781 × 6371000     		du = 173.491519315875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96671121)-sin(0.96668398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568009344978468-0.568031755659781)×R²
    abs(-0.23685622--0.23690416)×2.24106813131453e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24106813131453e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24106813131453e-05×40589641000000     		ar = 30097.1192821286m²