Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60594 / 33338
↖ ↑ ↗
← N 65.881459°
W 13.573609°		 ← 124.80 m → N 65.881459°
W 13.570862°		 →
↑
124.74 m
↓
↑
124.74 m
↓
N 65.880337°
W 13.573609°		 ← 124.81 m →
15 569 m²		 N 65.880337°
W 13.570862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462299346923828 y=0.254352569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462299346923828 × 217)
    floor (0.462299346923828 × 131072)
    floor (60594.5)     		tx = 60594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254352569580078 × 217)
    floor (0.254352569580078 × 131072)
    floor (33338.5)     		ty = 33338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60594 / 33338 ti = "17/60594/33338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60594/33338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60594 ÷ 217
    60594 ÷ 131072     		x = 0.462295532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33338 ÷ 217
    33338 ÷ 131072     		y = 0.254348754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462295532226562 × 2 - 1) × π
    -0.075408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23690416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254348754882812 × 2 - 1) × π
    0.491302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54347229396657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23690416} λ = -0.23690416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54347229396657))-π/2
    2×atan(4.68081525229313)-π/2
    2×1.36032235554448-π/2
    2.72064471108896-1.57079632675     		φ = 1.14984838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23690416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14984838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.881459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60594 KachelY 33338 -0.23690416 1.14984838 -13.573609 65.881459
    Oben rechts KachelX + 1 60595 KachelY 33338 -0.23685622 1.14984838 -13.570862 65.881459
    Unten links KachelX 60594 KachelY + 1 33339 -0.23690416 1.14982880 -13.573609 65.880337
    Unten rechts KachelX + 1 60595 KachelY + 1 33339 -0.23685622 1.14982880 -13.570862 65.880337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14984838-1.14982880) × R
    1.9579999999797e-05 × 6371000     		dl = 124.744179998707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14984838-1.14982880) × R
    1.9579999999797e-05 × 6371000     		dr = 124.744179998707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23690416--0.23685622) × cos(1.14984838) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408625829456967 × 6371000     		do = 124.804846344998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23690416--0.23685622) × cos(1.14982880) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408643700083697 × 6371000     		du = 124.810304494392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14984838)-sin(1.14982880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408625829456967-0.408643700083697)×R²
    abs(-0.23685622--0.23690416)×1.78706267301432e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78706267301432e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78706267301432e-05×40589641000000     		ar = 15569.0186538296m²