Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60594 / 26864
↖ ↑ ↗
← N 72.195246°
W 13.573609°		 ← 93.39 m → N 72.195246°
W 13.570862°		 →
↑
93.34 m
↓
↑
93.34 m
↓
N 72.194406°
W 13.573609°		 ← 93.40 m →
8 717 m²		 N 72.194406°
W 13.570862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462299346923828 y=0.204959869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462299346923828 × 217)
    floor (0.462299346923828 × 131072)
    floor (60594.5)     		tx = 60594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204959869384766 × 217)
    floor (0.204959869384766 × 131072)
    floor (26864.5)     		ty = 26864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60594 / 26864 ti = "17/60594/26864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60594/26864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60594 ÷ 217
    60594 ÷ 131072     		x = 0.462295532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26864 ÷ 217
    26864 ÷ 131072     		y = 0.2049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462295532226562 × 2 - 1) × π
    -0.075408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23690416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2049560546875 × 2 - 1) × π
    0.590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85381578210681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23690416} λ = -0.23690416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85381578210681))-π/2
    2×atan(6.38413356718543)-π/2
    2×1.41542053523525-π/2
    2.83084107047049-1.57079632675     		φ = 1.26004474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23690416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26004474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.195246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60594 KachelY 26864 -0.23690416 1.26004474 -13.573609 72.195246
    Oben rechts KachelX + 1 60595 KachelY 26864 -0.23685622 1.26004474 -13.570862 72.195246
    Unten links KachelX 60594 KachelY + 1 26865 -0.23690416 1.26003009 -13.573609 72.194406
    Unten rechts KachelX + 1 60595 KachelY + 1 26865 -0.23685622 1.26003009 -13.570862 72.194406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26004474-1.26003009) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dl = 93.3351500000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26004474-1.26003009) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dr = 93.3351500000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23690416--0.23685622) × cos(1.26004474) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305774311550349 × 6371000     		do = 93.3913453782487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23690416--0.23685622) × cos(1.26003009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305788259841471 × 6371000     		du = 93.3956055453863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26004474)-sin(1.26003009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305774311550349-0.305788259841471)×R²
    abs(-0.23685622--0.23690416)×1.39482911217792e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39482911217792e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39482911217792e-05×40589641000000     		ar = 8716.89404136083m²