Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60593 / 40046
↖ ↑ ↗
← N 57.163057°
W 13.576355°		 ← 165.58 m → N 57.163057°
W 13.573609°		 →
↑
165.65 m
↓
↑
165.65 m
↓
N 57.161568°
W 13.576355°		 ← 165.59 m →
27 429 m²		 N 57.161568°
W 13.573609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462291717529297 y=0.305530548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462291717529297 × 217)
    floor (0.462291717529297 × 131072)
    floor (60593.5)     		tx = 60593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305530548095703 × 217)
    floor (0.305530548095703 × 131072)
    floor (40046.5)     		ty = 40046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60593 / 40046 ti = "17/60593/40046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60593/40046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60593 ÷ 217
    60593 ÷ 131072     		x = 0.462287902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40046 ÷ 217
    40046 ÷ 131072     		y = 0.305526733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462287902832031 × 2 - 1) × π
    -0.0754241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23695209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305526733398438 × 2 - 1) × π
    0.388946533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22191157131523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23695209} λ = -0.23695209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22191157131523))-π/2
    2×atan(3.39366877704705)-π/2
    2×1.28423994145408-π/2
    2.56847988290817-1.57079632675     		φ = 0.99768356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23695209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.576355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99768356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.163057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60593 KachelY 40046 -0.23695209 0.99768356 -13.576355 57.163057
    Oben rechts KachelX + 1 60594 KachelY 40046 -0.23690416 0.99768356 -13.573609 57.163057
    Unten links KachelX 60593 KachelY + 1 40047 -0.23695209 0.99765756 -13.576355 57.161568
    Unten rechts KachelX + 1 60594 KachelY + 1 40047 -0.23690416 0.99765756 -13.573609 57.161568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99768356-0.99765756) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dl = 165.645999999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99768356-0.99765756) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dr = 165.645999999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23695209--0.23690416) × cos(0.99768356) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.542250071571097 × 6371000     		do = 165.582582622601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23695209--0.23690416) × cos(0.99765756) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.542271917033725 × 6371000     		du = 165.589253397415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99768356)-sin(0.99765756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542250071571097-0.542271917033725)×R²
    abs(-0.23690416--0.23695209)×2.18454626281783e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18454626281783e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18454626281783e-05×40589641000000     		ar = 27428.6449762732m²