Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60592 / 83437
↖ ↑ ↗
← S 44.050090°
W 13.579101°		 ← 219.52 m → S 44.050090°
W 13.576355°		 →
↑
219.54 m
↓
↑
219.54 m
↓
S 44.052064°
W 13.579101°		 ← 219.51 m →
48 193 m²		 S 44.052064°
W 13.576355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462284088134766 y=0.636577606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462284088134766 × 217)
    floor (0.462284088134766 × 131072)
    floor (60592.5)     		tx = 60592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636577606201172 × 217)
    floor (0.636577606201172 × 131072)
    floor (83437.5)     		ty = 83437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60592 / 83437 ti = "17/60592/83437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60592/83437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60592 ÷ 217
    60592 ÷ 131072     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83437 ÷ 217
    83437 ÷ 131072     		y = 0.636573791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636573791503906 × 2 - 1) × π
    -0.273147583007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.858118440098625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858118440098625))-π/2
    2×atan(0.423959036647156)-π/2
    2×0.40098861182054-π/2
    0.80197722364108-1.57079632675     		φ = -0.76881910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76881910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.050090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60592 KachelY 83437 -0.23700003 -0.76881910 -13.579101 -44.050090
    Oben rechts KachelX + 1 60593 KachelY 83437 -0.23695209 -0.76881910 -13.576355 -44.050090
    Unten links KachelX 60592 KachelY + 1 83438 -0.23700003 -0.76885356 -13.579101 -44.052064
    Unten rechts KachelX + 1 60593 KachelY + 1 83438 -0.23695209 -0.76885356 -13.576355 -44.052064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76881910--0.76885356) × R
    3.44600000000694e-05 × 6371000     		dl = 219.544660000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76881910--0.76885356) × R
    3.44600000000694e-05 × 6371000     		dr = 219.544660000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23695209) × cos(-0.76881910) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718732234951111 × 6371000     		do = 219.51932472178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23695209) × cos(-0.76885356) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718708274935292 × 6371000     		du = 219.512006716218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76881910)-sin(-0.76885356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718732234951111-0.718708274935292)×R²
    abs(-0.23695209--0.23700003)×2.3960015819724e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3960015819724e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3960015819724e-05×40589641000000     		ar = 48193.492199688m²