Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60592 / 40047
↖ ↑ ↗
← N 57.161568°
W 13.579101°		 ← 165.62 m → N 57.161568°
W 13.576355°		 →
↑
165.58 m
↓
↑
165.58 m
↓
N 57.160078°
W 13.579101°		 ← 165.63 m →
27 425 m²		 N 57.160078°
W 13.576355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462284088134766 y=0.305538177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462284088134766 × 217)
    floor (0.462284088134766 × 131072)
    floor (60592.5)     		tx = 60592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305538177490234 × 217)
    floor (0.305538177490234 × 131072)
    floor (40047.5)     		ty = 40047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60592 / 40047 ti = "17/60592/40047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60592/40047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60592 ÷ 217
    60592 ÷ 131072     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40047 ÷ 217
    40047 ÷ 131072     		y = 0.305534362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305534362792969 × 2 - 1) × π
    0.388931274414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.22186363441561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22186363441561))-π/2
    2×atan(3.39350609898671)-π/2
    2×1.28422694429864-π/2
    2.56845388859727-1.57079632675     		φ = 0.99765756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99765756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.161568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60592 KachelY 40047 -0.23700003 0.99765756 -13.579101 57.161568
    Oben rechts KachelX + 1 60593 KachelY 40047 -0.23695209 0.99765756 -13.576355 57.161568
    Unten links KachelX 60592 KachelY + 1 40048 -0.23700003 0.99763157 -13.579101 57.160078
    Unten rechts KachelX + 1 60593 KachelY + 1 40048 -0.23695209 0.99763157 -13.576355 57.160078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99765756-0.99763157) × R
    2.59900000000313e-05 × 6371000     		dl = 165.582290000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99765756-0.99763157) × R
    2.59900000000313e-05 × 6371000     		dr = 165.582290000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23695209) × cos(0.99765756) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542271917033725 × 6371000     		do = 165.623801541231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23695209) × cos(0.99763157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542293753727888 × 6371000     		du = 165.630471029705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99765756)-sin(0.99763157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542271917033725-0.542293753727888)×R²
    abs(-0.23695209--0.23700003)×2.18366941630022e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18366941630022e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18366941630022e-05×40589641000000     		ar = 27424.9205138638m²