Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60592 / 34425
↖ ↑ ↗
← N 64.632116°
W 13.579101°		 ← 130.85 m → N 64.632116°
W 13.576355°		 →
↑
130.86 m
↓
↑
130.86 m
↓
N 64.630939°
W 13.579101°		 ← 130.86 m →
17 124 m²		 N 64.630939°
W 13.576355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462284088134766 y=0.262645721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462284088134766 × 217)
    floor (0.462284088134766 × 131072)
    floor (60592.5)     		tx = 60592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262645721435547 × 217)
    floor (0.262645721435547 × 131072)
    floor (34425.5)     		ty = 34425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60592 / 34425 ti = "17/60592/34425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60592/34425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60592 ÷ 217
    60592 ÷ 131072     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34425 ÷ 217
    34425 ÷ 131072     		y = 0.262641906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262641906738281 × 2 - 1) × π
    0.474716186523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.49136488407957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49136488407957))-π/2
    2×atan(4.44315577486964)-π/2
    2×1.34941977198387-π/2
    2.69883954396773-1.57079632675     		φ = 1.12804322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12804322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.632116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60592 KachelY 34425 -0.23700003 1.12804322 -13.579101 64.632116
    Oben rechts KachelX + 1 60593 KachelY 34425 -0.23695209 1.12804322 -13.576355 64.632116
    Unten links KachelX 60592 KachelY + 1 34426 -0.23700003 1.12802268 -13.579101 64.630939
    Unten rechts KachelX + 1 60593 KachelY + 1 34426 -0.23695209 1.12802268 -13.576355 64.630939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12804322-1.12802268) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dl = 130.860339999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12804322-1.12802268) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dr = 130.860339999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23695209) × cos(1.12804322) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428428725647333 × 6371000     		do = 130.853160568083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23695209) × cos(1.12802268) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42844728499935 × 6371000     		du = 130.858829071907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12804322)-sin(1.12802268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428428725647333-0.42844728499935)×R²
    abs(-0.23695209--0.23700003)×1.85593520169447e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85593520169447e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85593520169447e-05×40589641000000     		ar = 17123.8599737363m²