Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60591 / 84301
↖ ↑ ↗
← S 45.731108°
W 13.581848°		 ← 213.20 m → S 45.731108°
W 13.579101°		 →
↑
213.17 m
↓
↑
213.17 m
↓
S 45.733025°
W 13.581848°		 ← 213.19 m →
45 447 m²		 S 45.733025°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462276458740234 y=0.643169403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462276458740234 × 217)
    floor (0.462276458740234 × 131072)
    floor (60591.5)     		tx = 60591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643169403076172 × 217)
    floor (0.643169403076172 × 131072)
    floor (84301.5)     		ty = 84301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60591 / 84301 ti = "17/60591/84301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60591/84301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60591 ÷ 217
    60591 ÷ 131072     		x = 0.462272644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84301 ÷ 217
    84301 ÷ 131072     		y = 0.643165588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462272644042969 × 2 - 1) × π
    -0.0754547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23704797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643165588378906 × 2 - 1) × π
    -0.286331176757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.899535921370354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23704797} λ = -0.23704797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899535921370354))-π/2
    2×atan(0.406758383819166)-π/2
    2×0.386318958357051-π/2
    0.772637916714103-1.57079632675     		φ = -0.79815841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23704797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.581848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79815841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.731108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60591 KachelY 84301 -0.23704797 -0.79815841 -13.581848 -45.731108
    Oben rechts KachelX + 1 60592 KachelY 84301 -0.23700003 -0.79815841 -13.579101 -45.731108
    Unten links KachelX 60591 KachelY + 1 84302 -0.23704797 -0.79819187 -13.581848 -45.733025
    Unten rechts KachelX + 1 60592 KachelY + 1 84302 -0.23700003 -0.79819187 -13.579101 -45.733025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79815841--0.79819187) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dl = 213.173660000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79815841--0.79819187) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dr = 213.173660000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23704797--0.23700003) × cos(-0.79815841) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698026602979928 × 6371000     		do = 213.195291754814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23704797--0.23700003) × cos(-0.79819187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698002642825853 × 6371000     		du = 213.187973707025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79815841)-sin(-0.79819187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698026602979928-0.698002642825853)×R²
    abs(-0.23700003--0.23704797)×2.3960154074909e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3960154074909e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3960154074909e-05×40589641000000     		ar = 45446.8406349767m²