Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60591 / 40731
↖ ↑ ↗
← N 56.128715°
W 13.581848°		 ← 170.22 m → N 56.128715°
W 13.579101°		 →
↑
170.23 m
↓
↑
170.23 m
↓
N 56.127184°
W 13.581848°		 ← 170.23 m →
28 978 m²		 N 56.127184°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462276458740234 y=0.310756683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462276458740234 × 217)
    floor (0.462276458740234 × 131072)
    floor (60591.5)     		tx = 60591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310756683349609 × 217)
    floor (0.310756683349609 × 131072)
    floor (40731.5)     		ty = 40731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60591 / 40731 ti = "17/60591/40731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60591/40731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60591 ÷ 217
    60591 ÷ 131072     		x = 0.462272644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40731 ÷ 217
    40731 ÷ 131072     		y = 0.310752868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462272644042969 × 2 - 1) × π
    -0.0754547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23704797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310752868652344 × 2 - 1) × π
    0.378494262695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.18907479507549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23704797} λ = -0.23704797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18907479507549))-π/2
    2×atan(3.28404139010659)-π/2
    2×1.2752136036663-π/2
    2.5504272073326-1.57079632675     		φ = 0.97963088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23704797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.581848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97963088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.128715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60591 KachelY 40731 -0.23704797 0.97963088 -13.581848 56.128715
    Oben rechts KachelX + 1 60592 KachelY 40731 -0.23700003 0.97963088 -13.579101 56.128715
    Unten links KachelX 60591 KachelY + 1 40732 -0.23704797 0.97960416 -13.581848 56.127184
    Unten rechts KachelX + 1 60592 KachelY + 1 40732 -0.23700003 0.97960416 -13.579101 56.127184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97963088-0.97960416) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dl = 170.233120000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97963088-0.97960416) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dr = 170.233120000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23704797--0.23700003) × cos(0.97963088) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55732906200161 × 6371000     		do = 170.222641185335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23704797--0.23700003) × cos(0.97960416) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55735124719703 × 6371000     		du = 170.229417115063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97963088)-sin(0.97960416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55732906200161-0.55735124719703)×R²
    abs(-0.23700003--0.23704797)×2.2185195420299e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2185195420299e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2185195420299e-05×40589641000000     		ar = 28978.1080492091m²