Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60591 / 26861
↖ ↑ ↗
← N 72.197765°
W 13.581848°		 ← 93.38 m → N 72.197765°
W 13.579101°		 →
↑
93.34 m
↓
↑
93.34 m
↓
N 72.196926°
W 13.581848°		 ← 93.38 m →
8 716 m²		 N 72.196926°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462276458740234 y=0.204936981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462276458740234 × 217)
    floor (0.462276458740234 × 131072)
    floor (60591.5)     		tx = 60591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204936981201172 × 217)
    floor (0.204936981201172 × 131072)
    floor (26861.5)     		ty = 26861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60591 / 26861 ti = "17/60591/26861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60591/26861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60591 ÷ 217
    60591 ÷ 131072     		x = 0.462272644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26861 ÷ 217
    26861 ÷ 131072     		y = 0.204933166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462272644042969 × 2 - 1) × π
    -0.0754547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23704797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204933166503906 × 2 - 1) × π
    0.590133666992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.85395959280567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23704797} λ = -0.23704797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85395959280567))-π/2
    2×atan(6.3850517399153)-π/2
    2×1.41544252053853-π/2
    2.83088504107706-1.57079632675     		φ = 1.26008871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23704797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.581848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26008871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.197765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60591 KachelY 26861 -0.23704797 1.26008871 -13.581848 72.197765
    Oben rechts KachelX + 1 60592 KachelY 26861 -0.23700003 1.26008871 -13.579101 72.197765
    Unten links KachelX 60591 KachelY + 1 26862 -0.23704797 1.26007406 -13.581848 72.196926
    Unten rechts KachelX + 1 60592 KachelY + 1 26862 -0.23700003 1.26007406 -13.579101 72.196926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26008871-1.26007406) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dl = 93.3351500000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26008871-1.26007406) × R
    1.46500000000049e-05 × 6371000     		dr = 93.3351500000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23704797--0.23700003) × cos(1.26008871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.30573244724089 × 6371000     		do = 93.3785589405526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23704797--0.23700003) × cos(1.26007406) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.30574639572897 × 6371000     		du = 93.3828191678465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26008871)-sin(1.26007406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30573244724089-0.30574639572897)×R²
    abs(-0.23700003--0.23704797)×1.39484880805063e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39484880805063e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39484880805063e-05×40589641000000     		ar = 8715.7006200009m²